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へガードフレアー理論を用いた結び目と写像類群の研究

Research Project

Project/Area Number 15K04865
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Research Field Geometry
Research InstitutionYamagata University

Principal Investigator

松田 浩  山形大学, 理学部, 准教授 (70372703)

Project Period (FY) 2015-04-01 – 2021-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2019)
Budget Amount *help
¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000)
Fiscal Year 2019: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2018: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2017: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2016: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2015: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Keywordsホモロジー群 / コード代数 / 接触ホモロジー
Outline of Annual Research Achievements

3次元球面内の結び目に対してEkholm氏、Etnyre氏、Ng氏、Sullivan氏は余球面束を使ったフレアー理論を展開することにより、次数付き微分代数を構成し、結び目の接触ホモロジー群を定義していた。さらにNg氏は結び目接触ホモロジー群の組合せ的な定義を与えていた。また結び目接触ホモロジー群の定義に結び目のメリディアンの情報を取り込むことにより3次元球面内の結び目に対する完全不変量を得られることがEkholm氏、Ng氏、Shende氏により示されていた。
上記の不変量は3次元球面内の1次元結び目に対する不変量であるが、同様の構成を4次元球面内の2次元結び目に対して拡張することを本研究で実行している。2次元結び目の表示方法の1つとして3次元球面への射影図を使う表示方法が知られている。この表示方法を使って、2次元結び目に対して次数付き微分代数を構成し、接触ホモロジー群の類似物を構成することができた。この表示方法を使った研究においては、鎖群の微分写像が3重点の周りで自然に4種類構成されている。そのため次数付き微分代数も4種類構成されている。2ツイストスパン三葉結び目と呼ばれる2次元結び目に対しこれら4種類の次数付き微分代数を具体的に計算し、少なくとも3種類の次数付き微分代数は異なる情報を持っていることを示した。この計算のために次数の情報を落とした特性代数を構成し、有限体への写像の個数を計算した。0ツイストスパン三葉結び目には3重点を持たない3次元球面への射影図が存在するため4種類の次数付き微分代数は全て同型であることがわかる。これらのことから本研究で構成した次数付き微分代数は2ツイストスパン三葉結び目と0ツイストスパン三葉結び目を区別できることがわかった。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

3次元球面への射影図を使った2次元結び目の表示方法を使うことで構成した2次元結び目の次数付き微分代数は、2ツイストスパン三葉結び目と0ツイストスパン三葉結び目と呼ばれる具体的な2次元結び目を区別するために使えることがわかった。

Strategy for Future Research Activity

より多くの2次元結び目に対して本研究で構成した2次元結び目の次数付き微分代数の具体的な計算を実行する。また2次元結び目の次数付き微分代数がなぜ自然に4種類存在するのかについてフレアー理論の観点からと組合せ的な観点から考察する。

Report

(5 results)
  • 2019 Research-status Report
  • 2018 Research-status Report
  • 2017 Research-status Report
  • 2016 Research-status Report
  • 2015 Research-status Report

Research Products

(5 results)

All 2020 2019 2017 2015

All Presentation

  • [Presentation] 2-knot homologies: Roseman and Yoshikawa2020

    • Author(s)
      松田 浩
    • Organizer
      接触構造、特異点、微分方程式及びその周辺
    • Related Report
      2019 Research-status Report
  • [Presentation] 2-knot homologies: Roseman and Yoshikawa2019

    • Author(s)
      松田 浩
    • Organizer
      拡大KOOKセミナー2019
    • Related Report
      2019 Research-status Report
  • [Presentation] 境界付き多様体のHeegaard Floer理論2017

    • Author(s)
      松田 浩
    • Organizer
      接触構造、特異点、微分方程式及びその周辺
    • Place of Presentation
      金沢大学サテライト・プラザ(石川県金沢市)
    • Year and Date
      2017-01-19
    • Related Report
      2016 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Homological invariants of surface-knots2017

    • Author(s)
      Hiroshi Matsuda
    • Organizer
      Differential Topology 17
    • Place of Presentation
      電気通信大学(東京都調布市)
    • Related Report
      2016 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Bordered Floer homology of Torelli elements2015

    • Author(s)
      松田 浩
    • Organizer
      リーマン面に関連する位相幾何学
    • Place of Presentation
      東京大学大学院数理科学研究科
    • Year and Date
      2015-08-26
    • Related Report
      2015 Research-status Report
    • Invited

URL: 

Published: 2015-04-16   Modified: 2021-01-27  

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