へガードフレアー理論を用いた結び目と写像類群の研究
| Project/Area Number |
15K04865
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Research Field |
Geometry
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| Research Institution | Yamagata University |
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Principal Investigator |
松田 浩 山形大学, 理学部, 准教授 (70372703)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2021-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2019)
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| Budget Amount *help |
¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000)
Fiscal Year 2019: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2018: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2017: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2016: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2015: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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| Keywords | ホモロジー群 / コード代数 / 接触ホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
３次元球面内の結び目に対してEkholm氏、Etnyre氏、Ng氏、Sullivan氏は余球面束を使ったフレアー理論を展開することにより、次数付き微分代数を構成し、結び目の接触ホモロジー群を定義していた。さらにNg氏は結び目接触ホモロジー群の組合せ的な定義を与えていた。また結び目接触ホモロジー群の定義に結び目のメリディアンの情報を取り込むことにより３次元球面内の結び目に対する完全不変量を得られることがEkholm氏、Ng氏、Shende氏により示されていた。
上記の不変量は３次元球面内の１次元結び目に対する不変量であるが、同様の構成を４次元球面内の２次元結び目に対して拡張することを本研究で実行している。２次元結び目の表示方法の１つとして３次元球面への射影図を使う表示方法が知られている。この表示方法を使って、２次元結び目に対して次数付き微分代数を構成し、接触ホモロジー群の類似物を構成することができた。この表示方法を使った研究においては、鎖群の微分写像が３重点の周りで自然に４種類構成されている。そのため次数付き微分代数も４種類構成されている。２ツイストスパン三葉結び目と呼ばれる２次元結び目に対しこれら４種類の次数付き微分代数を具体的に計算し、少なくとも３種類の次数付き微分代数は異なる情報を持っていることを示した。この計算のために次数の情報を落とした特性代数を構成し、有限体への写像の個数を計算した。0ツイストスパン三葉結び目には３重点を持たない３次元球面への射影図が存在するため４種類の次数付き微分代数は全て同型であることがわかる。これらのことから本研究で構成した次数付き微分代数は２ツイストスパン三葉結び目と0ツイストスパン三葉結び目を区別できることがわかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
３次元球面への射影図を使った２次元結び目の表示方法を使うことで構成した２次元結び目の次数付き微分代数は、２ツイストスパン三葉結び目と0ツイストスパン三葉結び目と呼ばれる具体的な２次元結び目を区別するために使えることがわかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
より多くの２次元結び目に対して本研究で構成した２次元結び目の次数付き微分代数の具体的な計算を実行する。また２次元結び目の次数付き微分代数がなぜ自然に４種類存在するのかについてフレアー理論の観点からと組合せ的な観点から考察する。
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Report
(5 results)
Research Products
(5 results)
