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Nonintegrability and chaos in general dynamical systems

Research Project

Project/Area Number 17J01421
Research Category

Grant-in-Aid for JSPS Fellows

Allocation TypeSingle-year Grants
Section国内
Research Field Basic analysis
Research InstitutionKyoto University

Principal Investigator

山中 祥五  京都大学, 情報学研究科, 特別研究員(DC1)

Project Period (FY) 2017-04-26 – 2020-03-31
Project Status Completed (Fiscal Year 2019)
Budget Amount *help
¥2,700,000 (Direct Cost: ¥2,700,000)
Fiscal Year 2019: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2018: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2017: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
Keywords力学系 / 可積分性 / 標準系 / カオス / 標準形 / 微分ガロア理論
Outline of Annual Research Achievements

線形項の固有値が(3,4,6)となる系はポアンカレの定理により解析的な変換で有限個の共鳴項を持つ標準形に変換可能である。この時に現れる標準形は係数に現れる2つのパラメータを用いて非可積分であるための必要十分条件が分かっている。よって、標準系への変換を計算し変換後の標準形を求めることで、線形項の固有値が(3,4,6)となる標準形とは限らない一般的な方程式の解析的な可積分性が完全に決定できる。Mapleによる数式処理により、与えられた方程式の6次以下の非線形項の係数に現れるパラメータを用いて非可積分であるための必要十分条件を与えることができた。
次に、Zungの定理により収束する変換で標準形に変換できない場合は解析的に非可積分である。収束する標準形への変換を持たない例としては、オイラーの研究に現れた(0,1)を固有値に持つ方程式系がある。この系の標準形は共鳴次数が1であり、常に可積分である。Ecalle, Ramis, Martinet, Sauzinらの研究により、さらに一般的な固有値(0,1)を持つ方程式に対して、標準形への変換が収束するための必要十分条件がEcalle不変量と呼ばれる定数により与えられている。特殊の場合には、ボレル・ラプラス変換を用いることで初等的な計算により、方程式から定まる無限級数が0になることと解析的に可積分であることが同値であることが分かった。
これらにより、当初予定していた研究計画のほとんどが達成されたと言える。ただし、非可積分性と力学系的な性質の関係に対しては、非ハミルトン系の場合が未解決の問題として残っている。また、標準形への変換を用いた可積分性判定についても、具体的な例を通して有用性を示せたものの、一般的微分方程式系に対して適用できるアルゴリズムを開発することが未解決な問題である。

Research Progress Status

令和元年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

令和元年度が最終年度であるため、記入しない。

Report

(3 results)
  • 2019 Annual Research Report
  • 2018 Annual Research Report
  • 2017 Annual Research Report
  • Research Products

    (5 results)

All 2020 2018 2017

All Journal Article (1 results) (of which Peer Reviewed: 1 results) Presentation (4 results)

  • [Journal Article] Local integrability of Poincare-Dulac normal forms2018

    • Author(s)
      Shogo Yamanaka
    • Journal Title

      Regular and Chaotic Dynamics

      Volume: 23 Issue: 7-8 Pages: 933-947

    • DOI

      10.1134/s1560354718070080

    • Related Report
      2018 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Analytic normalization and integrability of two-dimensional systems of differential equations2020

    • Author(s)
      山中祥五
    • Organizer
      天体力学N体力学研究集会
    • Related Report
      2019 Annual Research Report
  • [Presentation] 2自由度ハミルトン系における横断的なヘテロクリニック軌道の存在と非可積分性2018

    • Author(s)
      矢ヶ崎一幸、山中祥五
    • Organizer
      日本応用数理学会
    • Related Report
      2018 Annual Research Report
  • [Presentation] 2自由度ハミルトン系における横断的なヘテロクリニック軌道の存在と非可積分性2018

    • Author(s)
      矢ヶ崎一幸,山中祥五
    • Organizer
      日本数学会年会
    • Related Report
      2017 Annual Research Report
  • [Presentation] Poincare-Dulac標準形および一般的な力学系の局所解析的非可積分性2017

    • Author(s)
      山中祥五
    • Organizer
      日本応用数理学会
    • Related Report
      2017 Annual Research Report

URL: 

Published: 2017-05-25   Modified: 2024-03-26  

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