離散幾何的な新概念とグレブナー基底理論の融合による凸多面体論における新手法の開発

• Project/Area Number: 18H01134
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12030:Basic mathematics-related
• Research Institution: Kwansei Gakuin University
• Principal Investigator: 大杉 英史 関西学院大学, 理学部, 教授 (80350289)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 東谷 章弘 大阪大学, 情報科学研究科, 准教授 (60723385)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2022)
• Budget Amount: ¥16,120,000 (Direct Cost: ¥12,400,000、Indirect Cost: ¥3,720,000); Fiscal Year 2022: ¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000); Fiscal Year 2021: ¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000); Fiscal Year 2020: ¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000); Fiscal Year 2019: ¥3,770,000 (Direct Cost: ¥2,900,000、Indirect Cost: ¥870,000); Fiscal Year 2018: ¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
• Keywords: グレブナー基底 / 凸多面体 / エルハート多項式

Outline of Annual Research Achievements

凸多面体に含まれる格子点の数え上げや三角形分割は離散幾何学に止まらず様々な分野に現れる基本的かつ重要な研究対象である。当該研究の目的は，近年発明された離散幾何における革新的な新手法とグレブナー基底理論の融合・相互作用により，グレブナー基底理論に基づく新手法の開発を進めることである。
今年度の主たる研究成果としては，以下の3つがあげられる。
１．有限グラフに付随するPQ型隣接凸多面体と呼ばれる格子多面体について研究し，ジョイングラフを考えた場合の，PQ型隣接凸多面体のh*多項式に関する公式を与えた。この公式を応用し，車輪グラフのPQ型隣接凸多面体の正規化体積の明示的な公式を与えることにも成功し，Chen-Davisの予想を肯定的に解決した。また，完全多部グラフについてもh*多項式や正規化体積の公式を与え，Chen-Davisの完全2部グラフ K_{2,m} に関する結果を大幅に拡張することができた。
２．自然数の分割に付随するシュペヒトイデアルと呼ばれるイデアルについて研究し，シュペヒトイデアルに関する Haiman-Wooの結果（シュペヒトイデアルの被約性，および，普遍グレブナー基底の構成）の簡潔な別証明を与えた。
３．シュペヒトイデアルのステイト多面体が一般化されたpermutohedron であることを証明した。この結果によって特に，与えられたシュペヒトイデアルが持つイニシャルイデアルの個数を，分割の大きさ n と，連続する成分の差の最小値 k を用いた式 n!/(k+1)!で表すことができた。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

イデアルのグレブナー基底を完全に把握する「ステイト多面体」を求めることは通常非常に困難であり，シュペヒトイデアルに関する結果は貴重である。活用したアイデアを他の重要なクラスにも拡張できる可能性がある。

Strategy for Future Research Activity

正規多面体，反射的凸多面体などの重要な性質を持つ整凸多面体について，既存の著名なクラスの解析や，新しい豊富なクラスの発見に努める。これらの研究成果をもとに，理論的な考察に加えて，計算機支援によって豊富なクラスによる実証を遂行し，離散幾何における最新の理論をグレブナー基底を始めとする可換代数的手法と融合し，関連する理論の発展を目指す。

Research Products

• [Journal Article] Edge rings with q-linear resolutions (2022)
  • Author(s): Mori Kenta、Ohsugi Hidefumi、Tsuchiya Akiyoshi
  • Journal Title: Journal of Algebra Volume: 593 Pages: 550-567
  • DOI: 10.1016/j.jalgebra.2021.11.018
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Quadratic Groebner bases of block diagonal matching field ideals and toric degenerations of Grassmannians (2022)
  • Author(s): Higashitani Akihiro、Ohsugi Hidefumi
  • Journal Title: Journal of Pure and Applied Algebra Volume: 226
  • DOI: 10.1016/j.jpaa.2021.106821
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Symmetric edge polytopes and matching generating polynomials (2021)
  • Author(s): Ohsugi Hidefumi、Tsuchiya Akiyoshi
  • Journal Title: Combinatorial Theory Volume: 1
  • DOI: 10.5070/c61055371
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] The h*-Polynomials of Locally Anti-Blocking Lattice Polytopes and Their γ-Positivity (2021)
  • Author(s): Ohsugi Hidefumi、Tsuchiya Akiyoshi
  • Journal Title: Discrete & Computational Geometry Volume: 66 Pages: 701-722
  • DOI: 10.1007/s00454-020-00236-6
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Enriched order polytopes and enriched Hibi rings (2021)
  • Author(s): Hidefumi Ohsugi, Akiyoshi Tsuchiya
  • Journal Title: European Journal of Mathematics Volume: published online Pages: 48-68
  • DOI: 10.1007/s40879-020-00403-2
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Enriched chain polytopes (2020)
  • Author(s): Ohsugi Hidefumi、Tsuchiya Akiyoshi
  • Journal Title: Israel Journal of Mathematics Volume: － Pages: 485-500
  • DOI: 10.1007/s11856-020-2012-1
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Reflexive polytopes arising from bipartite graphs with $$\gamma $$-positivity associated to interior polynomials (2020)
  • Author(s): Ohsugi Hidefumi、Tsuchiya Akiyoshi
  • Journal Title: Selecta Mathematica Volume: 26 Pages: 59-59
  • DOI: 10.1007/s00029-020-00588-0
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Integer decomposition property for Cayley sums of order and stable set polytopes (2020)
  • Author(s): Takayuki Hibi, Hidefumi Ohsugi, Akiyoshi Tsuchiya
  • Journal Title: Michigan Mathematical Journal Volume: 掲載確定 Pages: 765-778
  • DOI: 10.1307/mmj/1585792887
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Toric ideals of Minkowski sums of unit simplices (2020)
  • Author(s): Akihiro Higashitani, Hidefumi Ohsugi
  • Journal Title: Algebraic Combinatorics Volume: 掲載確定
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Nef-partitions arising from unimodular configurations (2020)
  • Author(s): Hidefumi Ohsugi, Akiyoshi Tsuchiya
  • Journal Title: Mathematische Nachrichten Volume: 掲載確定
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Toric rings and ideals of stable set polytopes (2019)
  • Author(s): Kazunori Matsuda, Hidefumi Ohsugi, Kazuki Shibata
  • Journal Title: Mathematics Volume: 7 Pages: 613-613
  • DOI: 10.3390/math7070613
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Arithmetic aspects of symmetric edge polytopes (2019)
  • Author(s): Akihiro Higashitani, Katharina Jochemko, Mateusz Michalek
  • Journal Title: Mathematika Volume: 掲載確定
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Smooth centrally symmetric polytopes in dimension 3 are IDP (2019)
  • Author(s): Matthias Beck, Christian Haase, Akihiro Higashitani, Johannes Hofscheier, Katharina Jochemko, Lukas Katthaen, Mateusz Michalek
  • Journal Title: Annals of Combinatorics Volume: 掲載確定
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Presentation] Quadratic Groebner bases of block matching field ideals (2021)
  • Author(s): 大杉英史
  • Organizer: MFO-RIMS Tandem Workshop “Symmetries on polynomial ideals and varieties”
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Edge rings with q-linear resolutions (2021)
  • Author(s): 毛利健太
  • Organizer: 第17回数学総合若手研究集会
• [Presentation] Block diagonal matching field イデアルとグラスマン多様体のトーリック退化 (2021)
  • Author(s): 東谷章弘、大杉英史
  • Organizer: 日本数学会年会
• [Presentation] Edge rings with q-linear resolutions (2021)
  • Author(s): 毛利健太、大杉英史、土谷昭善
  • Organizer: 日本数学会年会
• [Presentation] 対称辺凸多面体とマッチング生成多項式 (2021)
  • Author(s): 大杉英史、土谷昭善
  • Organizer: 日本数学会年会
• [Presentation] 単位単体のミンコフスキ和のトーリックイデアル (2020)
  • Author(s): 大杉英史
  • Organizer: 組合せ論と可換環論
  • Invited
• [Presentation] Quadratic Groebner bases of block diagonal matching field ideals and toric degenerations of Grassmannians (2020)
  • Author(s): 大杉英史
  • Organizer: 東京可換環論セミナー
  • Invited
• [Presentation] Unimodular 配置に付随する nef 分割 (2020)
  • Author(s): 大杉英史、土谷昭善
  • Organizer: 日本数学会秋季総合分科会
• [Presentation] Two enriched poset polytopes (2019)
  • Author(s): 土谷昭善
  • Organizer: Toric Topology 2019 in Okayama
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Locally anti-blocking lattice polytopes and their h*-polynomials (2019)
  • Author(s): 土谷昭善
  • Organizer: Commutative Algebra and Lattice Polytopes
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Enriched Hibi ring (2019)
  • Author(s): 大杉英史，土谷昭善
  • Organizer: 日本数学会2019年度秋季総合分科会
• [Presentation] Two enriched poset polytopes (2019)
  • Author(s): 大杉英史，土谷昭善
  • Organizer: 日本数学会2019年度秋季総合分科会
• [Presentation] Ehrhart theory and interior polynomials (2019)
  • Author(s): 土谷昭善
  • Organizer: Recent advances in matroids and Tutte polynomials
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] Reflexive polytopes arising from bipartite graphs with γ-positivity associated to interior polynomials (2019)
  • Author(s): Hidefumi Ohsugi, Akiyoshi Tsuchiya
  • Organizer: AMS Spring Central and Western Sectional Meeting
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 順序凸多面体と安定集合凸多面体のケーリー和とその正規性およびGorenstein性 (2019)
  • Author(s): 大杉英史，土谷昭善，日比孝之
  • Organizer: 日本数学会年会
• [Presentation] 二部グラフに付随するある反射的凸多面体のγ-positive 性と内部多項式の関係 (2019)
  • Author(s): 大杉英史，土谷昭善
  • Organizer: 日本数学会年会
• [Presentation] Regular unimodular triangulations of dilated empty simplices and Grobner basis (2018)
  • Author(s): Akihiro Higashitani
  • Organizer: JCCA 2018
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] Characterization problem on Ehrhart polynomials of lattice polytopes (2018)
  • Author(s): Akihiro Higashitani
  • Organizer: AlgebraGeometryCombinatorics Seminar
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 有限グラフに付随する反射的凸多面体のδ列について (2018)
  • Author(s): 東谷章弘
  • Organizer: 応用数学合同研究集会
• [Book] Binomial Ideals (2018)
  • Author(s): Juergen Herzog, Takayuki Hibi, Hidefumi Ohsugi
  • Total Pages: 321
  • Publisher: Springer International Publishing
  • ISBN: 9783319953472
• [Remarks] 関西学院大学理学部大杉英史
  • URL: https://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~hohsugi/index.html
• [Remarks] 関西学院大学理工学部大杉英史
  • URL: https://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~hohsugi/index.html