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Hyperlogarithmの関係式を用いた、多重ゼータ値の関係式の研究

Research Project

Project/Area Number 19K23396
Research Category

Grant-in-Aid for Research Activity Start-up

Allocation TypeMulti-year Fund
Review Section 0201:Algebra, geometry, analysis, applied mathematics,and related fields
Research InstitutionTohoku University

Principal Investigator

川崎 菜穂  東北大学, 理学研究科, 助教 (40846854)

Project Period (FY) 2019-08-30 – 2022-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2020)
Budget Amount *help
¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Keywords多重ゼータ値 / 等号付き多重ゼータ値 / ベルヌーイ数 / 多重ゼータスター値 / hyperlogarithm / 多重ポリログ / 反復積分 / 多重ベルヌーイ数 / ベルヌーイ多項式 / Hyperlogarithm / 積分級数等式
Outline of Research at the Start

多重ゼータ値のすべての有理数係数線形関係式を与えると予想されている五つの関係式族の相互関係の解明, および新たな関係式族の開拓が申請者の目標である. 多重ゼータ値はリーマンゼータ値を多重化したものの一つであり, hyperlogarithmは多重ゼータ値を特殊値にもつ多変数複素関数である. さらに, 一般複シャッフル関係式から, 多重ゼータ値の基本的かつ重要な関係式の一つである双対公式が導出されるかという未解決課題の解明にも取り組む. 一般複シャッフル関係式は多重ゼータ値の間に成り立つすべての関係式を生成すると予想されている重要な関係式で族の一つである.

Outline of Annual Research Achievements

2色半順序集合上で定義される反復積分表示を用いて、等号付き多重ゼータ値のある系列の関係式族を得た。等号付き多重ゼータ値は、多重ゼータ値と同様にリーマンゼータ関数のある種の多変数化として定義される関数の特殊値であり、多重級数の極限値である。また、見かけが異なる2種類の反復積分表示をもち、2色半順序集合上で定義される反復積分表示はこのうちの一つである。等号付き多重ゼータ値について、多重ゼータ値間で成り立つ関係式族の類似が報告されているが、見かけが異なる2種類の反復積分表示をもつなど、多重ゼータ値とやや異なる性質も報告されており、多重ゼータ値と同様に興味深く重要な研究対象だと考えられている。今後、得られた等号付き多重ゼータ値のある系列の関係式族の拡張や、これとは異なる系列の関係式族の証明が可能だと考えており、研究を更に進めているところである。また、今回の成果は多重ゼータ値の関係式族の究明に還元することにも十分に期待できると考えている。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

多重ゼータ値のすべてのQ-線形関係式を与えると予想されている五つの関係式族の相互関係の解明、および新たな関係式族の開拓を中心課題としている。等号つき多重ゼータ値を軸として研究を行ったが、この理由は等号つき多重ゼータ値が多重ゼータ値と同様にリーマンゼータ関数のある種の多変数化として定義される関数の特殊値であり、多重ゼータ値の関係式族の類似をもつためである。さらに、等号つき多重ゼータ値が2色半順序集合上で定義される反復積分で表示できることも理由の一つである。この反復積分表示は多重ゼータ値が満たす関係式族にも用いられている重要な概念であり、2色半順序集合上で定義される反復積分表示の視点から等号付き多重ゼータ値が満たす関係式族を考察することは重要な研究題材だと考える。今回の研究で得た等号付き多重ゼータ値のある系列の関係式族は2色半順序集合上で定義される反復積分表示を用いて証明されるものである。今後、得られた関係式族を拡張することや多重ゼータ値の関係式族の究明に還元することにも十分に期待できると考えている。
様々な研究集会やセミナーに参加し、本研究に関連する講演を聴講したことや他の研究者との議論により、多重ゼータ値やhyperlogarithmに関連する最新の研究内容および情報の収集をすることができた。さらに、関連理論の習得や新たな研究課題の模索などに役立てることもできた。

Strategy for Future Research Activity

今回の結果は報告者の視点から、多重ゼータ値、等号付き多重ゼータ値、多重ベルヌーイ数という三者の交叉点に見えている。この3つの方向性のみならずあらゆる方向への展開を試みる計画である。特に、2色半順序集合上で定義される反復積分表示を用いた今回の成果の拡張の可能性を捉えることに力を割きたいと考えている。数値計算を行い、等号付き多重ゼータ値が満たす関係式族について究明を図りたい。
また、多重ベルヌーイ数はpolylogを用いた、ベルヌーイ数の自然な一般化であり、多重ベルヌーイ数とその多項式化などの拡張は、非常に興味深い研究対象となっている。多重ベルヌーイ数の生成アルゴリズムと多重ゼータ関数の特殊値との関係性についてもさらなる研究を推進したい。
この研究では、等号付き多重ゼータ値の関係式族を拡張することや多重ゼータ値の関係式族の究明に還元することなど、多重ゼータ値に関連する研究対象および2色半順序集合上で定義される反復積分表示を考察することによって、本課題の目標を遂げたいと考えている。

Report

(2 results)
  • 2020 Research-status Report
  • 2019 Research-status Report

Research Products

(5 results)

All 2020 2019

All Journal Article (1 results) (of which Peer Reviewed: 1 results,  Open Access: 1 results) Presentation (4 results) (of which Invited: 3 results)

  • [Journal Article] Cyclic sums of finite multiple zeta values2020

    • Author(s)
      Naho Kawasaki, Kojiro Oyama
    • Journal Title

      Acta Arithmetica

      Volume: ー

    • DOI

      10.4064/aa190326-1-10

    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Presentation] 有限多重ゼータ値の巡回和公式2019

    • Author(s)
      川崎 菜穂
    • Organizer
      第12回数論女性の集まり
    • Related Report
      2019 Research-status Report
  • [Presentation] Hyperlogarithmの積分級数等式2019

    • Author(s)
      川崎 菜穂
    • Organizer
      京都産業大学理学部数理科学科談話会
    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Cyclic sum of \widehat{\mathcal A}-finite multiple zeta values2019

    • Author(s)
      川崎 菜穂
    • Organizer
      RIMS研究集会「多重ゼータ値の諸相」
    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] \widehat{\mathcal A}-有限多重ゼータ値の巡回和について2019

    • Author(s)
      川崎 菜穂
    • Organizer
      第26回早稲田大学整数論セミナー
    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Invited

URL: 

Published: 2019-09-03   Modified: 2021-12-27  

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