ビッグデータ解析に応用可能な高連結度グラフの構成に関する微分幾何学的研究
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19K23411
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
0201:Algebra, geometry, analysis, applied mathematics,and related fields
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| Research Institution | Research Institute for Humanity and Nature |
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Principal Investigator |
山田 大貴 総合地球環境学研究所, 研究部, 研究員 (00847270)
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| Project Period (FY) |
2019-08-30 – 2021-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2019)
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| Budget Amount *help |
¥2,470,000 (Direct Cost: ¥1,900,000、Indirect Cost: ¥570,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
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| Keywords | リッチ曲率 / 単体的複体 / 幾何解析 / グラフラプラシアン / グラフ理論 / 微分幾何学 |
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| Outline of Research at the Start |
近年，ビッグデータの整備が進み，より複雑なグラフを解析する必要がある．こうした複雑なグラフに対して，より効率的に解析するため，局所的な計算で大域的性質を得ることができる微分幾何学的手法を構成することが本研究の目的である．その際，必要な概念はリッチ曲率と呼ばれるもので，これはリーマン幾何学において，多様体の構造を理解する上で重要な役割を果たすものである．このリッチ曲率をグラフ上に拡張したものと，ビッグデータの解析にも用いられているグラフの結びつきの強さを表す連結度との関係を明らかにすることで，ビッグデータ解析にも応用可能な高連結度グラフを構成方法を確立する．
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度では，研究目的の一つである「リッチ曲率を用いたグラフの連結度に関する不等式評価を得ること」を達成するため，以下の２つの研究成果を公表した．
１．単体的複体上のラプラシアンに関する固有値評価：グラフの一般化である単体的複体上に定義されるラプラシアンの固有値に対し，これまでの結果よりも一般化した不等式評価を得ることに成功した．具体的にはまず，単体的複体上に新たな確率測度を与えることで，グラフ上のリッチ曲率を単体的複体上へ拡張した．次に，本来単体的複体上のラプラシアンは単体的複体の向きに依存するが，正則な単体的複体を考えることで向きづけを固定できることに注目し，単体的複体上のラプラシアンを単純な形へ変形した．こうした手順を踏むことで，これまでの証明方法を踏襲することができる．これは次年度の「高連結度グラフの構成方法の確立」に大きく貢献する．また，本研究成果は現在国際雑誌に投稿中である．
２．グラフ上のリッチ曲率に関する幾何解析的性質：東北大学材料化学高等研究所の小澤龍ノ介氏と櫻井陽平氏らと共同研究を行い，有向グラフに対して，ラプラシアンの比較定理やラプラシアンの一般化であるp-ラプラシアンに対して固有値評価を得ることに成功した．有向グラフ上の距離は非対称であることから，無向グラフに対する定理を拡張することは難しいと考えられていたが，グラフの各点上に非対称な平均曲率を定義することで，これまで不等式評価できなかった箇所を評価することができた．これは次年度において，高連結度グラフの再構成ができなかった場合の対応策である「幾何解析的手法を用いた単体的複体上のラプラシアンの固有値と連結度との関係式」を明らかにする際重要な役割を果たす．本研究成果は現在国際雑誌に投稿中である．
また，これら上記の研究成果について幾つかの研究集会やセミナーで公表した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画通り，リッチ曲率を用いたグラフラプラシアンの固有値の不等式評価を単体的複体上へ拡張することに成功した．もし拡張できていなければ，オイラーグラフやハミルトングラフといった有向グラフを用いた大域的に与えられる向き付けを用いて単体的複体上のラプラシアンを再度変形するところから始めなければいけなかったため，拡張に成功したことは本研究課題が順調に進展していると言える．加えて，次年度の対応策として挙げていたグラフの幾何解析的性質についても進展したため，次年度への研究にも順調に繋げることができる．
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| Strategy for Future Research Activity |
前年度で一般化された研究成果を統合し，本研究の目的である高連結度グラフの構成方法を確立し，その構成方法がビッグデータの効率的解析を可能にしているか実データを用いて検証する． 具体的には，「単体的複体上のラプラシアンの固有値との関係を示す際に用いるチーガーの不等式」と「単体的複体上のラプラシアンの固有値と正のリッチ曲率との関係式」から，リッチ曲率と連結度との関係を明らかにし，高連結度グラフを再構成する．再構築できなかった場合は，グラフラプラシアンと連結度を示した関係式から，チーガーの不等式を使わず，前年度で得られたリッチ曲率の幾何解析的性質を用いて単体的複体上のラプラシアンの固有値と連結度との関係式を得る．
加えて，実際のデータに対して，本研究成果を応用し，その結果を準備期間で得た先行研究の結果と比較することで，効率的に高連結度グラフを再構成できているかを検証することによって本研究を総括する．
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Report
(1 results)
Research Products
(5 results)
