| 研究概要 |
これまで手術障害類はquadratic module M=(K_k(X ; Z),λ,μ)(あるいはこれにpositioning map α:Θ_o→K_k(X ; Z)を付加したもの)の同値類として構成されてきた.ここで,K_k(X ; Z)はsurgery kernel,λとμはそれぞれintersection form, selfintersection formである.この研究では,Z[G]-係数のquadratic moduleとZ_2[G]-係数のquadratic modules M, M_2にそれぞれpositioning maps α,α_2を付加した組(M, M_2,α,α_2)のcoupled K-theoryという新たな分野を開拓し,equivariant surgery theoryを発展させた.
始めにsurgery obstructionの構成,Lagrangianの定義,metabolic formの定義と分類,quadratic moduleの分類,幾何学的なG-surgeryの可能性を研究し,これらを総合してequivariant surgery theoryを構築した.
また,coupled Hermitian modulesのspecial Grothendieck-Witt ringを定義し、そのsubringsやGreen functorとしての分解性,{H→W_n(H;(Θ,Θ_o))}のMackey functor としての構造,およびBurnside ring Ω(G)上のmoduleとしての構造を研究し,Dress型誘導理論を得た.この結果を応用しBurnside ringの巾等元を用いたsurgery obstructionの消滅定理を得た.
さらに,これらの理論とOliver理論を組み合わせ,diskや球面上の滑らかな非線形作用の構成方法を示した.そして,群Gがnilpotent Oliver群やperfect群である場合に,単連結閉多様体が何時,球面上の滑らかな作用の不動点集合になりうるか接ベクトルによる必要十分条件を発見した.
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