| 研究概要 |
本研究は,自然現象や工学プロセスに多く見られる移動界面を有する流れ現象のための有限要素スキームの数学解析を目的として,平成12年度から平成14年度の3ヵ年にわたり行われた.
平成12年度は,ヘビサイド作用素H(・)を使って擬密度関数とその有限要素近似解の正値の1次元ボレル測度の差のL^p(Ω)-ノルム評価(ただし,p【greater than or equal】1)を考察することにより,2流体問題の有限要素解の近似界面の収束性を示した.具体的には,擬密度関数の有限要素近似にk次要素を用いた場合に,界面の収束はO(h^<2k/3p>)であることを示すことができた.さらに研究協力者の藤間昌一氏による数値実験で,上記の結果は数値的に実証された.
平成13年度は,ヘビサイド作用素の代わりに正則化ヘビサイド関数を導入することにより,従来の仮定を必要することなく,擬密度関数の有限要素近似解の収束性のみの仮定の下で,近似界面のよりシャープな誤差評価を得た.この結果,擬密度関数の有限要素近似にP1-要素あるいはP1 iso P2-要素を用いた場合に,界面の収束はO(h^<1/2>)であることを示すことができた.また,この結果は数値実験により実証された.
平成14年度は2流体問題に対する有限要素スキームの数理解析として,新たな弱定式化を考察することにより,質量保存性を有する有限要素スキームの開発を行った.本研究では,フラックス汎関数によるラグランジェ未定乗数を用いたナヴィエ・ストークス方程式に対する混合型の変分定式化を考察し,定常問題およびその近似問題の解の存在と一意性について証明し,近似問題の誤差評価を得た,非定常問題への応用および,本手法による数値実験については今後の課題である.
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