| 研究課題/領域番号 |
12640146
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
数学一般(含確率論・統計数学)
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| 研究機関 | 愛知工科大学 |
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研究代表者 |
渡辺 秀司 愛知工科大学, 工学部, 助教授 (90222405)
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| 研究期間 (年度) |
2000 – 2001
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| 研究課題ステータス |
完了 (2001年度)
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| 配分額 *注記 |
1,300千円 (直接経費: 1,300千円)
2001年度: 500千円 (直接経費: 500千円)
2000年度: 800千円 (直接経費: 800千円)
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| キーワード | Fourier変換の1つの一般化 / 特異な変数係数を持つ偏微分方程式 / explicitな解 / Sobolev型の埋め込み定理 / 逆2乗ポテンシャル / 力学変数の自己共役性 / 多様体上の量子力学 / Dirac formalism / 特異な変数係数をもつ偏微分方程式 / S^1上の量子力学 / 特異な係数をもつ偏微分方程式 / 正準交換関係以外の交換関係 |
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| 研究概要 |
1.Wignerの交換関係にしたがう1次元調和振動子の運動量作用素には、微分の項と原点で特異になる項の両方が存在する。これを掛け算作用素へと変換するものをN次元の場合で構成した。この変換はFourier変換の1つの一般化になり、微分の項と原点で特異になる項の両方をまとめて変換するという点で優れている。Fourier変換に関してはPlancherelの定理が知られている。この変換に関するPlancherelの定理に対応するものを同様にして導いた。次に、特異な変数係数をもつ偏微分方程式の初期値問題へこの変換を応用して、その解をexplicitに得た。また、この変換を用いてSobolev型の空間を定義した。Sobolev空間は滑らかさだけについての情報を有するのに対して、この空間は滑らかさのみならず特異性についての情報をも有する。そして、この空間についてのSobolev型の埋め込み定理を証明した。通常のSobolevの埋め込み定理は滑らかさだけについての埋め込みになっているが、この定理は滑らかさのみならず特異性についての埋め込みになっている。さらに、この変換を逆2乗ポテンシャル中を運動する量子力学的粒子の解析へ応用した。Hardyの不等式を用いたものなどと比較して、これは4次元までは条件が最も緩いことが判明した。
2.Dirac formalismによる円周上の量子力学に登場する力学変数が自己共役作用素になることを証明した。この結果、円周上の量子力学としてはこれは妥当であることが判明した。また興味深いことには、運動量作用素は実数全体に等しい連続スペクトルのみを持つことがわかり、周期的境界条件のために点スペクトルしかもたないという期待が否定された。この結果を円周上を運動する自由粒子についてのSchrodinger方程式の初期値問題へ応用した。
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