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変分汎関数の高次情報が拓く楕円型偏微分方程式の解の大域的・幾何学的構造

研究課題

研究課題/領域番号 15H03631
研究種目

基盤研究(B)

配分区分補助金
応募区分一般
研究分野 数学解析
研究機関大阪市立大学

研究代表者

高橋 太  大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (10374901)

研究分担者 加藤 信  大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (10243354)
壁谷 喜継  大阪府立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (70252757)
川上 竜樹  龍谷大学, 理工学部, 准教授 (20546147)
石渡 通徳  大阪大学, 基礎工学研究科, 准教授 (30350458)
宮本 安人  東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (90374743)
和田出 秀光  金沢大学, 機械工学系, 准教授 (00466525)
研究期間 (年度) 2015-04-01 – 2019-03-31
研究課題ステータス 完了 (2018年度)
配分額 *注記
13,260千円 (直接経費: 10,200千円、間接経費: 3,060千円)
2018年度: 3,250千円 (直接経費: 2,500千円、間接経費: 750千円)
2017年度: 2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)
2016年度: 2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)
2015年度: 4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
キーワード安定解 / 有限モース指数解 / 変分汎関数 / 非線形楕円型偏微分方程式 / Morse 指数 / 最良定数 / 最大化関数 / 瞬間爆発 / 解の幾何学的形状 / Hardy 不等式 / Trudinge-Moser 不等式 / エネルギー汎関数 / Trudinger 型不等式 / ハーディー型不等式
研究成果の概要

本研究課題では、変分構造を持つ楕円型方程式の境界値問題の解のうち、付随する変分汎関数の2階微分の情報を用いて定義される安定解や有限モース指数解について考察し、有限モース指数解に対するリウビル型定理・形状・対称性と領域の幾何学の関連、有限モース指数解の正則性理論及びアプリオリ評価の確立、及び特異安定解の構成の諸点について、微分幾何学的観点と大域解析学的観点の両側面からの解明を目指した。その際の解析に必要な Hardy 型不等式や Trudinger-Moser 型不等式の研究に成果を挙げた。

研究成果の学術的意義や社会的意義

非線形楕円型偏微分方程式の解の形状や対称性と領域の幾何学の関連については、従来から多くの研究結果があるが、解自身の無限次元臨界点理論的性質である「安定性」や「有限モース指数性」が解の形状をどこまで決定するか、という問題意識は新しく、本研究課題の新規な点であった。厳密形の知られている特異解の回りの変分汎関数の2階微分作用素は、不思議なことに常に Hardy 型のポテンシャル項を含んだものになり、その安定性は Hardy 不等式の成立に他ならないが、本研究課題の研究期間中には、様々な Hardy 型不等式の解析的側面の研究を進展させることができた。

報告書

(5件)
  • 2018 実績報告書   研究成果報告書 ( PDF )
  • 2017 実績報告書
  • 2016 実績報告書
  • 2015 実績報告書
  • 研究成果

    (53件)

すべて 2019 2018 2017 2016 2015 その他

すべて 国際共同研究 (11件) 雑誌論文 (27件) (うち国際共著 5件、 査読あり 26件、 オープンアクセス 7件、 謝辞記載あり 7件) 学会発表 (5件) (うち国際学会 1件、 招待講演 1件) 備考 (3件) 学会・シンポジウム開催 (7件)

  • [国際共同研究] Toulouse 数学研究所(フランス)

    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
  • [国際共同研究] KAIST(韓国)

    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
  • [国際共同研究] Napoli 大学 Federico II/Napoli 大学 Parthenope/Roma 大学(イタリア)

    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
  • [国際共同研究] ミラノ大学(イタリア)

    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
  • [国際共同研究] ナポリ大学(イタリア)

    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
  • [国際共同研究] ナポリ・パルテノープ大学(イタリア)

    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
  • [国際共同研究] KAIST(韓国)

    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
  • [国際共同研究] トゥールーズ大学(フランス)

    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
  • [国際共同研究]

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      2017 実績報告書
  • [国際共同研究] ミラノ大学(イタリア)

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      2016 実績報告書
  • [国際共同研究] KAIST(韓国)

    • 関連する報告書
      2016 実績報告書
  • [雑誌論文] Finsler Hardy-Kato's inequality2019

    • 著者名/発表者名
      A. Alvino, A. Ferone, A. Mercaldo, F. Takahashi and R. Volpicelli
    • 雑誌名

      Journal of Mathematical Analysis and Applications

      巻: 470 号: 1 ページ: 360-374

    • DOI

      10.1016/j.jmaa.2018.10.008

    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Bicomplex extensions of zero mean curvature surfaces in R^2,1 and R^2,22019

    • 著者名/発表者名
      Hashimoto Kaname、Kato Shin
    • 雑誌名

      Journal of Geometry and Physics

      巻: 18 号: 04 ページ: 1-35

    • DOI

      10.1016/j.geomphys.2018.12.017

    • URL

      https://ocu-omu.repo.nii.ac.jp/records/2016867

    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Some improvements for a class of the Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities2018

    • 著者名/発表者名
      M. Sano, and F. Takahashi
    • 雑誌名

      Differential and Integral Equations

      巻: 31 ページ: 57-74

    • 関連する報告書
      2018 実績報告書 2017 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] On a weighted Trudinger-Moser type inequality on the whole space and related maximizing problem2018

    • 著者名/発表者名
      V. H. Nguyen, and F. Takahashi
    • 雑誌名

      Differential and Integral Equations

      巻: 31 ページ: 785-806

    • 関連する報告書
      2018 実績報告書 2017 実績報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Critical and subcritical fractional Trudinger-Moser type inequalities on $\mathbb{R}$2018

    • 著者名/発表者名
      F. Takahashi
    • 雑誌名

      Advances in Nonlinear Analysis

      巻: 印刷中

    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Weighted Hardy's inequality in a limiting case and the perturbed Kolmogorov equation2018

    • 著者名/発表者名
      M. Sano, and F. Takahashi
    • 雑誌名

      Applicable Analysis

      巻: 印刷中

    • NAID

      120006770009

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      2017 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Bifurcating solutions of a nonlinear elliptic Neumann problem on large spherical caps2018

    • 著者名/発表者名
      C. Bandle, Y. Kabeya, and H. Ninomiya
    • 雑誌名

      Funkcialaj Ekvacioj

      巻: 印刷中

    • NAID

      130007801504

    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Scale invariance structures of the critical and the subcritical Hardy inequalities and their improvements2017

    • 著者名/発表者名
      M. Sano and F. Takahashi
    • 雑誌名

      Calculus of Variations and Partial Differential Equations

      巻: 56 号: 3 ページ: 14-14

    • DOI

      10.1007/s00526-017-1166-0

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      2017 実績報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] The heat kernel of a Schroedinger operator with inverse square potential2017

    • 著者名/発表者名
      K. Ishige, Y. Kabeya, E. Ouhabaz
    • 雑誌名

      Proceedings of the London Mathematical Society

      巻: 115 号: 2 ページ: 381-410

    • DOI

      10.1112/plms.12041

    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] 楕円型方程式の安定解の周辺2017

    • 著者名/発表者名
      高橋太
    • 雑誌名

      「数学」

      巻: 69巻1号 ページ: 31-55

    • NAID

      130007557773

    • 関連する報告書
      2016 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Generalized Joseph-Lundgren exponent and intersection properties for supercritical elliptic equations2017

    • 著者名/発表者名
      Y. Miyamoto, and K. Takahashi
    • 雑誌名

      Arch. Math. (Basel)

      巻: 108 号: 1 ページ: 71-83

    • DOI

      10.1007/s00013-016-0969-0

    • 関連する報告書
      2016 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Hardy type inequalities in $L_p$ with sharp remainders2017

    • 著者名/発表者名
      N. Ioku, M. Ishiwata, T. Ozawa
    • 雑誌名

      Journal of Inequalities and Applications

      巻: - 号: 1 ページ: 1-7

    • DOI

      10.1186/s13660-016-1271-1

    • 関連する報告書
      2016 実績報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Sublinear eigenvalue problems with singular weights related to the critical Hardy inequality2016

    • 著者名/発表者名
      M. Sano, and F. Takahashi
    • 雑誌名

      Electron. J. Differential Equations

      巻: 2016 ページ: 1-12

    • 関連する報告書
      2016 実績報告書
    • 査読あり / オープンアクセス / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Improved Rellich type inequalities in $\mathbb{R}^N$2016

    • 著者名/発表者名
      M. Sano, and F. Takahashi
    • 雑誌名

      Proceedings of the 4th Italian-Japanese Workshop on Geometric Properties for Parabolic and Elliptic PDE's", GPPEPDEs, Palinuro, Italy, May 2015.

      巻: 176 ページ: 241-255

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      2016 実績報告書
    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Index, nullity and flux of $n$-noids2016

    • 著者名/発表者名
      S.Kato, and K. Tatemichi
    • 雑誌名

      Osaka J. Math.

      巻: 53 ページ: 101-139

    • NAID

      120005941428

    • 関連する報告書
      2016 実績報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Positive Singular solutions to a nonlinear elliptic equation on the unit sphere2016

    • 著者名/発表者名
      Sohhyun Bae, Jann-Long Chern, Yoshitsugu Kabeya and Shoji Yotsutani
    • 雑誌名

      RIMS Kokyuroku

      巻: 1933 ページ: 107-121

    • 関連する報告書
      2016 実績報告書
    • 国際共著
  • [雑誌論文] Intersection properties of radial solutions and global bifurcation diagrams for supercritical quasilinear elliptic equations2016

    • 著者名/発表者名
      Yasuhito Miyamoto
    • 雑誌名

      NoDEA Nonlinear Differential Equations Applications

      巻: 23 号: 2 ページ: 1-24

    • DOI

      10.1007/s00030-016-0359-0

    • 関連する報告書
      2016 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] On the effect of equivalent constraints on a maximizing problem associated with the Sobolev type embeddings in R^N2016

    • 著者名/発表者名
      Michinori Ishiwata, Hidemitsu Wadade
    • 雑誌名

      Mathematische Annalen

      巻: 364 号: 3-4 ページ: 1043-1068

    • DOI

      10.1007/s00208-015-1243-7

    • NAID

      120005652940

    • 関連する報告書
      2016 実績報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Sharp remainder of a critical Hardy inequality2015

    • 著者名/発表者名
      N. Ioku, M. Ishiwata, T. Ozawa
    • 雑誌名

      Archiv der Mathematik

      巻: 106 号: 1 ページ: 65-71

    • DOI

      10.1007/s00013-015-0841-7

    • 関連する報告書
      2016 実績報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Extremal solutions to Liouville-Gelfand type elliptic problems with nonlinear Neumann boundary conditions2015

    • 著者名/発表者名
      F. Takahashi
    • 雑誌名

      Commun. Contemporary Math.

      巻: 13 号: 08 ページ: 1-32

    • DOI

      10.1142/s0219199714500163

    • NAID

      120006576124

    • URL

      https://ocu-omu.repo.nii.ac.jp/records/2016792

      https://ocu-omu.repo.nii.ac.jp/records/2019782

    • 関連する報告書
      2015 実績報告書
    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Blow up points and the Morse indices of solutions to the Liouville equation: inhomogeneous case2015

    • 著者名/発表者名
      F. Takahashi
    • 雑誌名

      Advanced Studies in Pure Math.

      巻: 64 ページ: 175-182

    • 関連する報告書
      2015 実績報告書
    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Local asymptotic nondegeneracy for multi-bubble solutions to the biharmonic Liouville-Gel'fand problem in dimension four2015

    • 著者名/発表者名
      H. Ohtsuka, and F. Takahashi
    • 雑誌名

      Differential and Integral Equations

      巻: 28 ページ: 801-822

    • 関連する報告書
      2015 実績報告書
    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] LYAPUNOV INEQUALITY FOR AN ELLIPTIC PROBLEM WITH THE ROBIN BOUNDARY CONDITION2015

    • 著者名/発表者名
      M. Hashizume, and F. Takahashi
    • 雑誌名

      Nonlinear Anal. T.M.A.

      巻: 14 号: 13 ページ: 1-10

    • DOI

      10.1016/j.na.2015.08.006

    • URL

      https://ocu-omu.repo.nii.ac.jp/records/2016819

    • 関連する報告書
      2015 実績報告書
    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] SINGULAR EXTREMAL SOLUTIONS TO A LIOUVILLE-GELFAND TYPE PROBLEM WITH EXPONENTIAL NONLINEARITY2015

    • 著者名/発表者名
      F. Takahashi
    • 雑誌名

      10th AIMS proceedings, Dynamical Systems, Differential Equations and Applications 2015

      巻: 14 号: 03 ページ: 1-12

    • DOI

      10.3934/proc.2015.1025

    • URL

      https://ocu-omu.repo.nii.ac.jp/records/2016809

    • 関連する報告書
      2015 実績報告書
    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Nonradial maximizers for a H'enon type problem and symmetry breaking bifurcations for a Liouville-Gel'fand problem with a vanishing coefficient2015

    • 著者名/発表者名
      Yasuhito Miyamoto
    • 雑誌名

      Mathematische Annalen

      巻: 361 号: 3-4 ページ: 787-809

    • DOI

      10.1007/s00208-014-1089-4

    • 関連する報告書
      2015 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] On a variational problem associated with a Hardy type inequality involving a mean oscillation2015

    • 著者名/発表者名
      N. Ioku, and M. Ishiwata
    • 雑誌名

      Calc. Var. Partial Differential Equations

      巻: 54 号: 4 ページ: 3949-3966

    • DOI

      10.1007/s00526-015-0927-x

    • 関連する報告書
      2015 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Minimal surfaces of genus one with catenoidal ends II2015

    • 著者名/発表者名
      S. Kato, and H. Muroya
    • 雑誌名

      Osaka J. Math.

      巻: 52 ページ: 307-371

    • NAID

      120005986358

    • 関連する報告書
      2015 実績報告書
    • 査読あり
  • [学会発表] 一般有界領域上での臨界 Hardy 不等式について2018

    • 著者名/発表者名
      高橋太・Jaeyoung Byeon
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会
    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
  • [学会発表] curl-free ベクトル場に対する Hardy-Leray 及び Rellich-Leray 不等式について2018

    • 著者名/発表者名
      濱本直樹・高橋太
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会
    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
  • [学会発表] Sublinear eigenvalue problems with singular weights related to the critical Hardy inequality2017

    • 著者名/発表者名
      佐野めぐみ・高橋太
    • 学会等名
      日本数学会年会(函数方程式論分科会)
    • 発表場所
      首都大学東京(東京都八王子市)
    • 年月日
      2017-03-24
    • 関連する報告書
      2016 実績報告書
  • [学会発表] Critical and subcritical fractional Trudinger-Moser type inequalities on $\mathbb{R}$2017

    • 著者名/発表者名
      F. Takahashi
    • 学会等名
      The 10th Workshop on Nonlinear Differential Equations
    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Scale invariance structures of the critical and the subcritical Hardy inequalities and their improvement2016

    • 著者名/発表者名
      佐野めぐみ・高橋太
    • 学会等名
      日本数学会春季年会(函数方程式論分科会)
    • 発表場所
      筑波大学(茨城県・つくば市)
    • 年月日
      2016-03-16
    • 関連する報告書
      2015 実績報告書
  • [備考] OCAMI Preprint Series 2017

    • URL

      http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/OCAMI/publication/preprint/preprint2017.html

    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
  • [備考] OCAMI Preprint Series 2016

    • URL

      http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/OCAMI/publication/preprint/preprint2016.html

    • 関連する報告書
      2016 実績報告書
  • [備考] OCAMI Preprint Series

    • URL

      http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/math/OCAMI/preprint/index_15.html

    • 関連する報告書
      2015 実績報告書
  • [学会・シンポジウム開催] AMS Spring Central and Western Joint Sectional Meeting SS44A - Special Session on ``New Trends on Variational Calculus and Non-Linear Partial Differential Equations2019

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      2018 実績報告書
  • [学会・シンポジウム開催] AMS Sectional Meeting Special Session ``Partial Differential Equations and New Perspective of Variational Methods"2018

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      2018 実績報告書
  • [学会・シンポジウム開催] 5th Italian-Japanese Workshop on Geometric Properties for Parabolic and Elliptic PDE's2017

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      2017 実績報告書
  • [学会・シンポジウム開催] The 11th AIMS Conference SS119:Geometric functional inequalities and application to PDEs2016

    • 発表場所
      Hotel Hyatt Regency Florida (Orlando, US)
    • 年月日
      2016-07-04
    • 関連する報告書
      2016 実績報告書
  • [学会・シンポジウム開催] Geometric and Physical aspects of Trudinger-Moser type inequalities2016

    • 発表場所
      Institute Mittag-Leffler (Stockholm, Sweeden)
    • 年月日
      2016-06-27
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      2016 実績報告書
  • [学会・シンポジウム開催] Seminar on Elliptic and Parabolic PDE2016

    • 発表場所
      大阪市立大学(大阪府大阪市)
    • 年月日
      2016-03-04
    • 関連する報告書
      2015 実績報告書
  • [学会・シンポジウム開催] 3rd Chile-Japan Workshop on Elliptic and Parabolic PDEs2015

    • 発表場所
      大阪大学(大阪府豊中市)
    • 年月日
      2015-12-07
    • 関連する報告書
      2015 実績報告書

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公開日: 2015-04-16   更新日: 2020-03-30  

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