超幾何系由来のK3保型形式の研究とその数論への応用

• 研究課題/領域番号: 15K04807
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 千葉大学
• 研究代表者: 志賀 弘典 千葉大学, 大学院理学研究院, 名誉教授 (90009605)
• 研究期間 (年度): 2015-04-01 – 2018-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2017年度)
• 配分額: 4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円); 2017年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円); 2016年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円); 2015年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
• キーワード: K3 曲面 / 保型関数 / 超幾何微分方程式 / 虚数乗法論 / テータ関数 / 超幾何函数 / テータ函数 / 保型形式

研究成果の概要

１９世紀のガウス、アーベル、ヤコビによって建設された、楕円曲線の周期および、モジュライの理論とその数論への応用は、２０世紀の数学に多大な影響を及ぼしたが、今日、その理論は高次元の数学に拡張されて研究が続けられている。楕円曲線の複素２次元版が K3 曲面であり、さらに高次のものはカラビーヤウ多様体と呼ばれる。
他方、1901年、ヒルベルトによって提起された、彼の第１２問題は数論に関わる重要な問題であり、1960年代の志村五郎による大きな展開があったが、まだ未解決である。
研究代表者は、K3 曲面等を介して、志村の結果を可視化し明示的な例を与えることに成功した。

研究成果

• [雑誌論文] One visualization of Shimura's complex multiplication theorem via hypergeometric modular functions (2018)
  • 著者名/発表者名: A. Nagano, H. Shiga
  • 雑誌名: RIMS Kokyuroku Bessatsu 巻: 印刷中
  • 査読あり
• [雑誌論文] The Shimura canonical model for a quaternion algebra of discriminant 6 via the hypergeometric modular function (2018)
  • 著者名/発表者名: H. Shiga
  • 雑誌名: RIMS Kokyuroku Bessatsu 巻: 印刷中
  • 査読あり
• [雑誌論文] To the Hilbert class field from the hypergeometric modular function (2016)
  • 著者名/発表者名: A. Nagano and Shiga,H.
  • 雑誌名: J. Number Theory, 巻: 165 ページ: 408-430
  • 査読あり
• [雑誌論文] To the Hilbert class field from the hypergeometric modular function (2016)
  • 著者名/発表者名: A. Nagano and H. Shiga
  • 雑誌名: Journal of Number Theory 巻: 165
  • 査読あり / 謝辞記載あり
• [学会発表] ペトコヴァ保型関数から 導かれるホイン方程式と栗原曲線の正準化 (2017)
  • 著者名/発表者名: H. Shiga
  • 学会等名: アクセサリー・パラメーター研究集会
  • 発表場所: 熊本大学（熊本県・熊本市）
  • 年月日: 2017-03-15
  • 招待講演
• [学会発表] An explicit Shimura canonical model for the quaternion algebra of discriminant 6 (2017)
  • 著者名/発表者名: H. Shiga
  • 学会等名: 30th Journees Arithmetiques
  • 国際学会
• [学会発表] The Shimura canonical model for the quaternion algebra of discriminant 6 via the hypergeo- metric modular function (2016)
  • 著者名/発表者名: H. Shiga
  • 学会等名: 代数的整数論とその周辺
  • 発表場所: 京大数理解析研究所（京都府・京都市）
  • 年月日: 2016-11-28
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] To the Hilbert 12th problem from the hypergeometric modular function (2016)
  • 著者名/発表者名: H. Shiga
  • 学会等名: Automorphic Forms: theory and computation
  • 発表場所: London (UK)
  • 年月日: 2016-09-05
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] One visualization of Shimura’s complex multiplication theorem via hypergeometric modular functions (2016)
  • 著者名/発表者名: H. Shiga
  • 学会等名: Arithmetic and Low Dimensional Hyperbolic Spaces
  • 発表場所: Istanbul (Turkey)
  • 年月日: 2016-06-27
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] 超幾何函数と四角モノドロミー群 (2016)
  • 著者名/発表者名: 志賀弘典
  • 学会等名: アクセサリーパラメーター研究会
  • 発表場所: 熊本大学理学部（ 熊本県、熊本市）
  • 年月日: 2016-03-23
• [学会発表] Visualization of the Shimura complex multiplication via hypergeometric equations and Lam'e equations (2016)
  • 著者名/発表者名: Hironori Shiga
  • 学会等名: 数学教室談話会
  • 発表場所: Padova 大学（ イタリア）数学教室
  • 年月日: 2016-02-05
  • 招待講演
• [学会発表] The arithmetic Fuchsian groups, (2016)
  • 著者名/発表者名: H. Shiga
  • 学会等名: Univ. of Sheffield 数学談話会
  • 発表場所: Sheffield (UK)
  • 招待講演
• [学会発表] One visualization of Shimura's complex multiplication theorem via hypergeometric modular functions (2015)
  • 著者名/発表者名: Hironori Shiga
  • 学会等名: 代数的整数論とその周辺 2015
  • 発表場所: 京都大学数理解析研究所（ 京都府、京都市）
  • 年月日: 2015-11-30
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Period map, Picard modular forms and Complex multiplication of higher degree (Geometrical Applicationsof Modular Forms of Several Variables) (2015)
  • 著者名/発表者名: Hironori Shiga
  • 学会等名: 18th Autumn Workshop on Number Theory at Hakuba
  • 発表場所: 白馬ハイマウントホテル（ 長野県、白馬村）
  • 年月日: 2015-11-07
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] One class field via hypergeometric modular function (2015)
  • 著者名/発表者名: Hironori Shiga
  • 学会等名: シンポジウム``ヨーロッパ数論週間"
  • 発表場所: Debrecen 大学（ ハンガリー）
  • 年月日: 2015-06-08
  • 国際学会
• [図書] 保型関数 (2017)
  • 著者名/発表者名: 志賀弘典
  • 総ページ数: 273
  • 出版者: 共立出版
  • ISBN: 9784320112049