Hilbert 保型形式のShimura対応とその応用

• 研究課題/領域番号: 16K05056
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 三重大学
• 研究代表者: 露峰 茂明 三重大学, 教育学部, 特任教授(教育担当) (70197763)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2019-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2018年度)
• 配分額: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円); 2018年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円); 2017年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円); 2016年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
• キーワード: Hilbert modular form / Shimura lifting / quadratic form / L function / Shimura lift / Class number / Hilbert 保型形式 / Shimura 対応 / Eisenstein 級数 / 平方数の和 / 代数学 / 保型形式 / ２次形式 / 総実代数体

研究成果の概要

(1)レベルと重さに条件を付け，半整数の重さのHilbert保型形式の志村liftができることを示し，フーリエ係数の対応を記述した．またテータ級数の3乗もlift可能であり，応用としてルート２を含む２次体Kで整数が３つの平方数の和に書ける条件を求め，その表現数とKの総虚２次拡大体の相対類数の関係を求めた．
(2)保型形式f,gのn番目のフーリエ係数をそれぞれa(n),b(n)とし，a(n),そしてb(n)の複素共役を積をn番目の係数とするディリクレ級数を考える．f,gの重さや指標が異なっていてもそのL関数が全複素平面への解析接続を示し，またその関数等式を具体的に求めた．二次形式等への応用も示した

研究成果の学術的意義や社会的意義

(1) Hilbert保型形式のShimura liftingが尖点形式に限定せず，Fourier係数を使って記述されたのは初めてである．応用としてルート２を含む２次体の総虚２次拡大体の類数が初等的な計算のみで求められるようになった．ルート２を含む２次体以外でも限定的ではあるがこれが可能である．（2）全複素平面に有理的に解析接続し，関数等式を持つL関数の種類を増やした．2次形式への応用は既に得られているが，これを始め，様々な応用があると期待される．

研究成果

• [雑誌論文] Petersson scalar product and L-functions arising from modular forms (2019)
  • 著者名/発表者名: S. Tsuyumine
  • 雑誌名: Ramanujan Journal 巻: - 号: 1 ページ: 1-40
  • DOI: 10.1007/s11139-019-00159-8
  • 査読あり
• [雑誌論文] On Shimura lifting of Hilbert modular forms (2018)
  • 著者名/発表者名: S. Tsuyumine
  • 雑誌名: Research in Number Theory 巻: 4;40 号: 4 ページ: 1-45
  • DOI: 10.1007/s40993-018-0133-y
  • 査読あり
• [学会発表] Sums of three squares under congruence condition modulo a prime (2016)
  • 著者名/発表者名: Shigeaki Tsuyumine
  • 学会等名: 香川セミナー
  • 発表場所: 香川大学（香川県・高松市）