| 研究課題/領域番号 |
16K05136
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
幾何学
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| 研究機関 | 千葉大学 |
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研究代表者 |
今井 淳 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (70221132)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2019年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2018年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2017年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2016年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | ポテンシャル / エネルギー / 正則化 / メビウス不変性 / インダクタンス / ベータ関数 / Rieszポテンシャル / 留数 / 結び目 / 自己インダクタンス / Riesz ポテンシャル / 内在的体積 / 部分多様体 / 幾何学 |
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| 研究成果の概要 |
Mをユークリッド空間のコンパクト部分多様体とする。zを複素数とし、M×M上距離のz乗の積分をzの関数と考えると、解析接続により1位の極のみを持つ有理型関数が得られる。これをMのBrylinskiベータ関数とよぶ。この関数とその留数の性質、およびそれらからMの幾何がどの程度わかるか、ということが研究の主目的であった。ソラネス氏との共同研究で、Mが奇数次元閉部分多様体であるか、偶数次元のコンパクトボディ（全空間と同じ次元の多様体）の場合は、zが多様体の次元mの-2倍のときBrylinskiベータ関数の値（これはMのRiesz (-2m)-エネルギーである）はメビウス変換で不変であることを示した。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
多様体のRieszエネルギーは研究代表者が与えた結び目のエネルギーの自然な拡張である。解析接続を用いることにより、多様体に対して、エネルギーと多様体のBrylinskiベータ関数の留数という2系統の量が得られた。留数の例としては、曲面のWillmoreエネルギーがある。エネルギーという大域的な量と、留数という局所的な量を積分して得られる量という、共に幾何学的に重要な量を導入し、その重要性の一部（メビウス群に関する対称性、球体の同定など）を示すことができたことが、本研究の一番大きな学術的意義である。
また、研究手法自体も、電磁気学のインダクタンスを単一回路で考えたものの発散を除くことに応用できる。
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