| 研究課題/領域番号 |
16K05225
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
数学解析
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
宮本 安人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (90374743)
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| 研究協力者 |
内藤 雄基
若狭 徹
小坂 篤志
高橋 和音
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2018年度)
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| 配分額 *注記 |
2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)
2018年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2017年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2016年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | ソボレフ優臨界 / 半線形楕円型偏微分方程式 / 分岐図式 / 正値特異球対称解 / 一般化相似変換 / 一般の増大度 / Joseph-Lundgren指数 / 交点数 / 楕円型偏微分方程式 / 分岐理論 / 準線形楕円型方程式 / 一般化スケール変換 / 半線形楕円型方程式 / 反応拡散方程式 |
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| 研究成果の概要 |
臨界ソボレフ指数と呼ばれる数より大きい増大度を非線形項が持つ場合に，球領域における半線形楕円型偏微分方程式の球対称解の解構造（分岐構造）を明らかにした．解構造は特異球対称解と密接に関係しているため，特異球対称解についても研究を行った．特に，非線形項の主要部が冪か指数関数の場合に，特異球対称解が一意的に存在し，古典解が特異解に収束することを示した．
一方，当初の研究計画にはなかったが，主要部が冪や指数関数ではない場合には，藤嶋陽平氏（静岡大学）によって発見された一般化相似変換が有効であることを明らかにし，それを用いて一般的な非線形項の場合についても解構造のかなりの部分を明らかにした．
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
半線形楕円型偏微分方程式の研究において，非線形項の増大度がソボレフの意味の，劣臨界もしくは臨界の場合は，膨大な量の研究がなされている．一方，優臨界の場合は，有効な関数解析的手法が存在しないため，その解構造や解の性質等は未知の部分が大きかった．
本研究では，球対称解に制限することによって，常微分方程式の手法を用いて解構造や解の様々な性質を明らかにすることが目的である．本研究によって優臨界方程式に特有の現象が明らかにされ，さらに，対応する放物型方程式の研究に有効な様々な手法や情報を提供した．
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