不確定特異点を持つD-加群と幾何学的モノドロミーの研究

• 研究課題/領域番号: 17H02848
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 解析学基礎
• 研究機関: 東北大学 (2020-2022); 筑波大学 (2017-2019)
• 研究代表者: 竹内 潔 東北大学, 理学研究科, 教授 (70281160)
• 研究期間 (年度): 2017-04-01 – 2022-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2022年度)
• 配分額: 17,420千円 (直接経費: 13,400千円、間接経費: 4,020千円); 2021年度: 3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円); 2020年度: 2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円); 2019年度: 2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円); 2018年度: 2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円); 2017年度: 4,810千円 (直接経費: 3,700千円、間接経費: 1,110千円)
• キーワード: D加群 / 不確定特異点 / 特異点理論 / 有理型関数 / フーリエ変換 / Bernstein-佐藤多項式 / モノドロミー / D-加群 / 超幾何関数 / 代数解析

研究成果の概要

不確定特異点を持つホロノミーD加群のフーリエ変換の基本的な性質を解明した。特にその特異集合を具体的に記述し、それに沿う不確定度（指数因子）が元のホロノミーD加群の特性多様体と指数因子を用いて記述できることを示した。これらの結果は約30年前の Brylinskiの結果を大きく拡張するものである。この研究のために、さらに我々は有理型関数の無限遠点や不確定点における特異性について研究を行った。また副産物として、有理型関数にたいするBernstein-佐藤多項式を発見し、その基本的な性質を調べた。

研究成果の学術的意義や社会的意義

望月とKedlayaの理論により、近年不確定特異点を持つホロノミーD加群の理論は劇的な
進展を遂げた。我々の研究は、それをホロノミーD加群のフーリエ変換の基本的な性質の解明という、代数解析学における長年の未解決問題に応用したものである。またこの研究の過程において、有理型関数の無限遠点や不確定点における特異性について基礎的な研究を行った。これらは非常に自然な数学的対象であるが、なぜかこれまで研究されなかったものであり、今後自然科学の多方面に応用が期待できる。

研究成果

• [国際共同研究] HSE University(ロシア連邦)
• [国際共同研究] University of Nice(フランス)
• [国際共同研究] VAST(ベトナム)
• [国際共同研究] Higher school of economics(ロシア連邦)
• [国際共同研究] Nice university(フランス)
• [国際共同研究] VAST(ベトナム)
• [国際共同研究] ニース大学(フランス)
• [国際共同研究] Higher school of economics(ロシア連邦)
• [国際共同研究] ニース大学(フランス)
• [国際共同研究] Higher school of economics(ロシア連邦)
• [雑誌論文] On the monodromy conjecture for non-degenerate hypersurfaces (2023)
  • 著者名/発表者名: A. Esterov, A. Lemahieu and K. Takeuchi
  • 雑誌名: J. of European Mathematical Society 巻: 24 ページ: 3873-3949
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Meromorphic nearby cycle functors and monodromies of meromorphic functions (with Appendix by T. Saito) (2023)
  • 著者名/発表者名: T.T. Nguyen and K. Takeuchi
  • 雑誌名: Revista Matematica Complutense 巻: -
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] On the monodromies and the limit mixed Hodge structures of families of algebraic varieties (2023)
  • 著者名/発表者名: T. Saito and K. Takeuchi
  • 雑誌名: Michigan Math. Journal 巻: -
  • 査読あり
• [雑誌論文] On a Bernstein-Sato polynomial of a meromorphic function (2023)
  • 著者名/発表者名: K. Takeuchi
  • 雑誌名: Nagoya Math. Journal 巻: -
  • 査読あり
• [雑誌論文] On the monodromies and the limit mixed Hodge structures of families of algebraic varieties (2022)
  • 著者名/発表者名: T. Saito and K. Takeuchi
  • 雑誌名: Michigan Math. J. 巻: -
  • 査読あり
• [雑誌論文] On the monodromy conjecture for non-degenerate hypersurfaces (2022)
  • 著者名/発表者名: A. Esterov, A. Lemahieu and K. Takeuchi
  • 雑誌名: J. of European Mathematical Society 巻: -
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] The bifurcation set of a rational function via Newton polytopes (2021)
  • 著者名/発表者名: T.T. Nguyen, T. Saito and K. Takeuchi
  • 雑誌名: Math. Zeitschrift 巻: 298 ページ: 899-916
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Bifurcation values of polynomial functions and perverse sheaves (2020)
  • 著者名/発表者名: K. Takeuchi
  • 雑誌名: Annales de l'Institut Fourier 巻: -
  • 査読あり
• [雑誌論文] On some topological properties of Fourier transforms of regular holonomic D-modules (2020)
  • 著者名/発表者名: Y. Ito and K. Takeuchi
  • 雑誌名: Canadian Math. Bulletin 巻: -
  • 査読あり
• [雑誌論文] On irregularities of Fourier transforms of regular holonomic D-modules (2020)
  • 著者名/発表者名: Y. Ito and K. Takeuchi
  • 雑誌名: Advances in Math. 巻: 366
  • 査読あり
• [雑誌論文] On vanishing theorems for local systems associated to Laurent polynomials (2018)
  • 著者名/発表者名: A. Esterov and K. Takeuchi
  • 雑誌名: Nagoya Math. Journal 巻: 231 ページ: 1-22
  • DOI: 10.1017/nmj.2017.8
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Hyperbolic localization and Lefschetz fixed point formulas for higher-dimensional fixed point sets (2017)
  • 著者名/発表者名: Yuichi Ike, Yutaka Matsui and Kiyoshi Takeuchi
  • 雑誌名: Int. Math. Res. Not. 巻: 印刷中 号: 15 ページ: 4852-4898
  • DOI: 10.1093/imrn/rnx030
  • 査読あり
• [学会発表] Fourier transforms of holonomic D-modules and irregular characteristic cycles (2023)
  • 著者名/発表者名: K. Takeuchi
  • 学会等名: 研究集会 ``Singularities and Algebraic Geometry", Khanh Hoa 大学（ベトナム、ニャチャン）
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Exponential factors and Fourier transforms of D-modules (2019)
  • 著者名/発表者名: K. Takeuchi
  • 学会等名: AGA Porto 2019, Higgs bundles and D-modules
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Meromorphic nearby cycle functors and monodromies of meromorphic functions (2019)
  • 著者名/発表者名: K. Takeuchi
  • 学会等名: Non-isolated singularities and derived geometry
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] On irregularities of Fourier transforms of regular holonomic D-modules (2019)
  • 著者名/発表者名: K. Takeuchi
  • 学会等名: 27th ICFIDCAA Krasnoyarsk
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] On irregularities of Fourier transforms regular holonomic D-modules (2018)
  • 著者名/発表者名: 竹内潔
  • 学会等名: 第１４回代数解析幾何学セミナー
  • 招待講演
• [学会発表] On irregularities of Fourier transforms of regular holonomic D-modules (2018)
  • 著者名/発表者名: 竹内潔
  • 学会等名: Riemann-Hilbert correspondences
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] On the monodromies and the limit mixed Hodge structures of families of algebraic varieties (2017)
  • 著者名/発表者名: 竹内潔
  • 学会等名: Singularity theory conference
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] On the monodromy conjecture for non-degenerate hypersurfaces (2017)
  • 著者名/発表者名: 竹内潔
  • 学会等名: 3rd PRIMA congress in Oaxaca
  • 国際学会 / 招待講演
• [図書] D加群 (2017)
  • 著者名/発表者名: 竹内潔
  • 総ページ数: 324
  • 出版者: 共立出版
  • ISBN: 9784320112056
• [学会・シンポジウム開催] Hypergeometric functions and mirror symmetry (2018)