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可積分アルゴリズム:正値性をもつ高精度計算基盤

研究課題

研究課題/領域番号 17H02858
研究種目

基盤研究(B)

配分区分補助金
応募区分一般
研究分野 数学基礎・応用数学
研究機関京都大学

研究代表者

中村 佳正  京都大学, 情報学研究科, 教授 (50172458)

研究分担者 木村 欣司  福井大学, 学術研究院工学系部門, 准教授 (10447899)
高田 雅美  奈良女子大学, 生活環境科学系, 講師 (20397574)
關戸 啓人  京都大学, 国際高等教育院, 特定講師 (40718235)
前田 一貴  福知山公立大学, 新学部設置準備室, 講師 (80732982)
研究期間 (年度) 2017-04-01 – 2020-03-31
研究課題ステータス 交付 (2019年度)
配分額 *注記
17,810千円 (直接経費: 13,700千円、間接経費: 4,110千円)
2019年度: 5,330千円 (直接経費: 4,100千円、間接経費: 1,230千円)
2018年度: 5,980千円 (直接経費: 4,600千円、間接経費: 1,380千円)
2017年度: 6,500千円 (直接経費: 5,000千円、間接経費: 1,500千円)
キーワード特異値分解 / 並列計算 / 原点シフト / 可積分アルゴリズム / 片側ヤコビ法 / 両側ヤコビ法 / 直交QD法 / 櫻井・杉浦法 / 並列計算の実装 / 相対精度 / 部分特異値分解 / 大規模スパース行列 / ランチョスアルゴリズム / QR分解 / 応用可積分系 / 固有値計算
研究実績の概要

櫻井・杉浦法は左特異ベクトルのみを用いて計算を行うため直交QD法と相性が良いが,その一方で, 今倉らにより改良された櫻井・杉浦法に,LAPACKの片側ヤコビ法ではなく,我々の実装した片側ヤコビ法と両側ヤコビ法を搭載した場合の性能評価をGPGPUを利用して行うという研究計画に沿って研究を行った.
ハウスフォルダー2重対角化で前処理しQR法で特異ベクトルを計算するのが従来法である.複数の理由により,NVIDIA Jetson NanoではなくRaspberry pi 4を25台(実験24台+開発1台)購入した.また,ハウスフォルダー2重対角化で前処理し,AIRLB法の下位ルーチンとして,可積分アルゴリズムの一種である直交QD法で特異ベクトルを計算したところ,QR法よりも優れた解法であることを確認できた.AIRLB法では高精度な2重対角化ができるため,直交QD法を生かせた実装が可能である.
一方,2重対角化を経由しない片側ヤコビ法をSST法の下位ルーチンに使ったところ,最大特異値*EPS(計算機イプシロン、10^{-16})より小さい特異値の値であっても信頼できる値を計算できることが多いことがわかった.このため,櫻井・杉浦法には本研究で開発した片側ヤコビ法が最も適していることとなる.一方,両側ヤコビ法は高速性の観点で片側ヤコビ法よりも優れているため,高速性を必要とする特異スペクトル変換法に向いた計算法であることが判明した.
以上の研究で開発した実装コードはライブラリhttp://www-is.amp.i.kyoto-u.ac.jp/LAPROGNC/にて公開している.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

小規模行列の特異値分解を得意とするヤコビ法がある.ヤコビ法には,片側ヤコビ法と両側ヤコビ法があるが,両側ヤコビ法の適切な実装はまだない.本研究では,この問題を解決するために,両側ヤコビ法の3種類の実装方法を開発し提案している.この提案方法を用いる ことで,既存のLAPACKの片側ヤコビ法と比べ,より高精度に特異値分解できることを確認している.開発の過程で,当初の予定と違うアルゴリズムを使う必要が生じ,その分,数値実験が遅れたが,既存のQR法による特異ベクトル計算に対して結果的にはより良好な精度を実現することができた.

今後の研究の推進方策

工学では,最大特異値*EPS(計算機イプシロン、10^{-16})以上の特異値のみが重要で,これはAIRLB法で高精度に計算できる.しかし,これよりも小さい特異値は,
ハウスホルダー変換と同じく,AIRLB法でも高精度計算は困難である.一方,片側ヤコビ法は条件数の大きな行列には強いものの,特に単精度では近接特異値や密集特異値の場合の特異値分解の精度が良くない.そこで,直交QD法の出番となる.このように可積分アルゴリズムである直交QD法のより徹底した研究が待たれる.

報告書

(2件)
  • 2018 実績報告書
  • 2017 実績報告書

研究成果

(20件)

すべて 2019 2018 2017

すべて 雑誌論文 (7件) (うち査読あり 7件、 オープンアクセス 4件) 学会発表 (10件) (うち国際学会 4件、 招待講演 1件) 図書 (3件)

  • [雑誌論文] A discrete three-wave system of Kahan-Hirota-Kimura type and the QRT mapping2019

    • 著者名/発表者名
      Yuko Takae, Masami Takata, Kinji Kimura, and Yoshimasa Nakamura
    • 雑誌名

      Proceedings of 2019 International Conference on Parallel and Distributed Processing Techniques and Applications

      巻: 1 ページ: 142-148

    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Improvement of the thick-restart Lanczos method in single precision floating point arithmetic using Givens rotations2019

    • 著者名/発表者名
      Masana Aoki, Masami Takata, Kinji Kimura, and Yoshimasa Nakamura
    • 雑誌名

      Proceedings of 2019 International Conference on Parallel and Distributed Processing Techniques and Applications

      巻: 1 ページ: 149-155

    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] On an implementation of the two-sded Jacobi method2019

    • 著者名/発表者名
      Sho Araki, Masana Aoki, Masami Takata, Kinji Kimura and Yoshimasa Nakamura
    • 雑誌名

      Proceedings of 2019 International Conference on Parallel and Distributed Processing Techniques and Applications

      巻: 1

    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Another generalization of the box ball system with many kinds of balls2018

    • 著者名/発表者名
      Maeda Kazuki
    • 雑誌名

      Journal of Integrable Systems

      巻: 3 ページ: 5033954-5033954

    • DOI

      10.1093/integr/xyy007

    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Implementation of computing partial singular value decomposition for proncipal component analysis using ARPACK2018

    • 著者名/発表者名
      Masami Takata, Sho Araki, Kinji Kimura, Yuki Fujii, Yoshimasa Nakamura
    • 雑誌名

      IPSJ Trans. Math. Modeling Appl.

      巻: 11-1 ページ: 37-44

    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Improvement of the augmented implicitly restarted Lanczos bidiagonalization method in single precision floating point arithmetic2018

    • 著者名/発表者名
      Yuya Ishida, Masami Takata, Kinji Kimura, Yoshimasa Nakamura
    • 雑誌名

      IPSJ Trans. Math. Modeling Appl.

      巻: 11-3 ページ: 19-25

    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Application of the Lanczos-Phillips algorithm to continued fractions and its extension with orthogonal polynomials2018

    • 著者名/発表者名
      Kaoru Sawa and Yoshimasa Nakamura,
    • 雑誌名

      JSIAM Letters

      巻: 10 号: 0 ページ: 57-60

    • DOI

      10.14495/jsiaml.10.57

    • ISSN
      1883-0609, 1883-0617
    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [学会発表] 融合積和演算を利用した特異値分解のための両側ヤコビ法の実装について2019

    • 著者名/発表者名
      荒木翔, 高田雅美, 木村欣司, 中村佳正
    • 学会等名
      令和元年度応用数理学会年会
    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
  • [学会発表] 割線法を利用した特異値分解のための両側ヤコビ法の実装について2019

    • 著者名/発表者名
      荒木翔,高田雅美,木村欣司,中村佳正
    • 学会等名
      第48 回数値解析シンポジウム
    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
  • [学会発表] Kahan-廣田-木村型離散three wave system とQRT写像2018

    • 著者名/発表者名
      高江宥光, 木村欣司, 中村佳正
    • 学会等名
      平成30 年度応用数理学会年会
    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
  • [学会発表] Fast computation method of column space by using the DQDS method and the OQDS method2018

    • 著者名/発表者名
      Sho Araki, Hiroki Tanaka, Masami Takata, Kinji Kimura and Yoshimasa Nakamura
    • 学会等名
      The 2018 International Conference on Parallel and Distributed Processing Techniques and Applications (PDPTA2018)
    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
    • 国際学会
  • [学会発表] Improvement of computing partial singular value decomposition for dense matrix using thick-restart-Lanczos method2018

    • 著者名/発表者名
      Masana Aoki, Masami Takata, Kinji Kimura and Yoshimasa Nakamura
    • 学会等名
      The 2018 International Conference on Parallel and Distributed Processing Techniques and Applications (PDPTA2018)
    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
    • 国際学会
  • [学会発表] ランチョス・フィリップスアルゴリズムの可積分性とその直交多項式への応用2018

    • 著者名/発表者名
      澤薫, 中村佳正
    • 学会等名
      第14 回応用数理学会研究部会連合発表会
    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
  • [学会発表] 単精度浮動小数点数環境にも有効なAugmented Implicitly Restarted Lanczos Bidiagonalization 法の改良2018

    • 著者名/発表者名
      石田遊也, 高田雅美, 木村欣司, 中村佳正
    • 学会等名
      第14 回応用数理学会研究部会連合発表会,
    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
  • [学会発表] Parallel symmetric tridiagonal eigensolver based on bisection and inverse iteration algorithms with the blocked classical Gram-Schmidt reorthogonalization and the shifted Cholesky QR decomposition2018

    • 著者名/発表者名
      Kinji Kimura, Masayuki Osawa, Sho Araki, Hiroyuki Ishigami, Yoshimasa Nakamura
    • 学会等名
      SIAM Conference on Parallel Processing for Scientific Computing
    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
    • 国際学会
  • [学会発表] Acceleration of inverse iteration method using Cholesky QR decomposition with shifts2018

    • 著者名/発表者名
      Masayuki Osawa, Sho Araki, Hiroyuki Ishigami, Kinji Kimura, Yoshimasa Nakamura
    • 学会等名
      International Workshop on Eigenvalue Problems: Algorithms; Software and Applications, in Petascale Computing (EPASA2018)
    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
    • 国際学会
  • [学会発表] 応用可積分系分野の基礎方程式としての戸田格子方程式,2017

    • 著者名/発表者名
      中村佳正
    • 学会等名
      平成29 年度応用数理学会年会
    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
    • 招待講演
  • [図書] 計算力学レクチャーコース 固有値計算と特異値計算2019

    • 著者名/発表者名
      長谷川,今村,山田,櫻井,荻田,相島,木村,中村共著
    • 総ページ数
      201
    • 出版者
      丸善出版,
    • ISBN
      9784621304730
    • 関連する報告書
      2018 実績報告書
  • [図書] 解析学百科:可積分系の数理2018

    • 著者名/発表者名
      中村,高崎,辻本,尾角,井ノ口(第5章応用可積分系/執筆分担)
    • 総ページ数
      432
    • 出版者
      朝倉書店
    • ISBN
      9784254117271
    • 関連する報告書
      2017 実績報告書
  • [図書] 数値線形代数の数理とHPC2018

    • 著者名/発表者名
      櫻井, 松尾, 片桐編(2.2.2 mdLVs法/執筆分担)
    • 総ページ数
      314
    • 出版者
      共立出版
    • ISBN
      9784320019553
    • 関連する報告書
      2017 実績報告書

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公開日: 2017-04-28   更新日: 2021-01-27  

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