研究課題/領域番号 |
17K05199
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研究種目 |
基盤研究(C)
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配分区分 | 基金 |
応募区分 | 一般 |
研究分野 |
代数学
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研究機関 | 大阪電気通信大学 (2019-2022) 豊橋技術科学大学 (2017-2018) |
研究代表者 |
伊藤 公毅 大阪電気通信大学, 共通教育機構, 特任准教授 (30456842)
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研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2024-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
2019年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2018年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2017年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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キーワード | 差分加群 / ドラームコホモロジー / サイクルのホモロジー / q解析 / リーマン・ヒルベルト対応 / q差分加群 / q差分ド・ラームコホモロジー / q差分サイクルのホモロジー / ジャクソン積分 / q差分ド・ラーム理論 / 代数解析 |
研究実績の概要 |
1.本研究の初期段階で導入した、単体的サイト上の局所自由O加群の圏、その下部にあるサイト上の局所自由O加群の圏、そして、古典的射影直線上の局所自由O加群の圏が同値であることがわかった。これにより、単体的サイト上の有理形q接続の圏と、下部にあるサイト上の有理形q接続の圏が同値であることが従う。 2.より一般の差分について差分加群の枠組み(定義)をはっきりさせた。これにより、そのコホモロジーの定義は明確なものとなった。(一方で、具体的な実現は、各論としてさまざまであり、特にサイクルのホモロジーの定式化は、難しさが依然残っている。 3.しかしながら、サイクルのホモロジーについて、q差分の場合については、高次元を含めだいぶ理解が進んできた。ドラームコホモロジーとのペアリングである、「積分」についても明確になりつつある。(グロタンディークによる高次元の留数を活用することになる。) 4.ホロノミック系の定義が固まってきた。これに関連して、コーシー問題や、特異点のありかたが次第に明らかになりつつある。また、リーマン・ヒルベルト対応のあるべきステートメントが次第に明らかになりつつある。(特異点と関連して級数展開のありようが問題になるが、ここについては未だよくわかっていない。) 以上のように差分加群(特にq差分加群)の理論整備において、技術的な面を含め細かい点を含め進展があった。現在、はっきりした部分について論文作成中である。今後は特に、サイクルのホモロジー、コーシー問題、特異点関連している部分を明確にすることが目標である。
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
理論構築に際し、単体的空間の一般論について細々とした補題を整えるのは、少々時間がかかってしまった。(よく知られている、とは限らず、自前で証明をつけるべきことが多くあらわれた。)一方で、そのおかげもあり、上で述べた圏同値を得ることもできた。新しい、命題をみつけ、その証明をあたえることとなったため、いささか余計に時間を要している。 (こういった、技術的だが大事な点に触れる機会となったのは、コロナから徐々に研究活動が再開され、研究討議が行えるようになった産物である。)
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今後の研究の推進方策 |
まず、これまでにえられた結果を取りいそぎまとめて出版する。 次に、進展のあった最新の結果について、多くの研究者に説明し、研究討議を行う。
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