非線形関数論への幾何学的アプローチ

• 研究課題/領域番号: 18K03254
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分11010:代数学関連
• 研究機関: 東京女子大学
• 研究代表者: 吉荒 聡 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (10230674)
• 研究期間 (年度): 2018-04-01 – 2023-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2022年度)
• 配分額: 2,730千円 (直接経費: 2,100千円、間接経費: 630千円); 2022年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円); 2021年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円); 2020年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円); 2019年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円); 2018年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
• キーワード: 差分複体 / 非線形関数 / 導来関数 / 代数的次数 / ケーレーグラフ / Cayley グラフ / 距離正則グラフ / Reed Muller 符号 / APN関数 / ケーレー・グラフ / 二階差分 / リード・マラー符号 / アマルガム / 群の一意性証明 / Walsh 係数 / DHO / 差分的一様関数 / グラフの固有値 / 隣接行列 / Walsh スペクトラム / 平面関数 / Cayleyグラフ / DHO(双対超卵形) / 群指標

研究成果の概要

本研究の主眼は「一般の非線形関数に対する差分複体論の構築」であったが, 差分複体という概念の有効性を示す結果は得られておらず, 単にこの概念抜きでも証明できる既知の結果の形式的拡張に留まっている. 有限体上の関数に対する代数的次数の概念を導来関数の観点から見直し, 成分関数を定める基底の取り方に依存しない性質を定式化するという当初の目論見は, 簡単に出来る部分のみしか成功していない.
具体的成果は, 出発点となったモデル「関数が定めるCayleyグラフ」に関するものに限る. Cayley グラフが距離正則である場合には, その直径やパラメーターなどが極めて制限される．

研究成果の学術的意義や社会的意義

有限体上の非線形関数は情報の暗号化に有効であり1990年代から世界的に多くの研究が蓄積されている. 本研究はこのような関数がどの程度存在するのかをその関数の導来関数から構成される差分複体の概念（実関数の微分関数とそのグラフの列の類似と見なせる）により分析しようという試みであったが、今のところ差分複体という概念の有効性を示す結果も、この方向からのアプローチをその証明に必要とする結果も得られていない。既知の結果の形式的拡張が得られるというレベルにとどまっている。新しい成果として挙げられるのは、１次元の複体であるケーレーグラフが強い正則性を持つような非線形関数は極めて限られるという事実である。

研究成果

• [雑誌論文] 有限体上の関数が定める Cayley graph (2020)
  • 著者名/発表者名: Satoshi Yoshiara
  • 雑誌名: RIMSKokyuroku（京都大学数理解析研究所講究録） 巻: 2148
  • オープンアクセス
• [雑誌論文] Splitness of the Veronesean and the Taniguchi dual hyperovals (2019)
  • 著者名/発表者名: Satoshi Yoshiara
  • 雑誌名: Discrete Mathematics 巻: 342 号: 3 ページ: 844-854
  • DOI: 10.1016/j.disc.2018.11.019
  • 査読あり
• [学会発表] 有限体上の関数が定める Cayley graph (2018)
  • 著者名/発表者名: 吉荒 聡
  • 学会等名: 「代数的組合せ論と関連する群と代数の研究」(京都大学数理解析研究所研究集会）