| 研究課題/領域番号 |
18K03363
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
菱田 俊明 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60257243)
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| 研究期間 (年度) |
2018-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2020年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2019年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2018年度: 1,820千円 (直接経費: 1,400千円、間接経費: 420千円)
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| キーワード | 非圧縮粘性流 / Navier-Stokes方程式 / 外部問題 / 漸近挙動 / 発展作用素 / 時間周期解 / 安定性 / 最適制御 / 長時間挙動 / 制御 / self-propelled運動 / 漸近展開 / Navier-Stokes |
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| 研究実績の概要 |
３次元空間をみたす非圧縮粘性流体の中に運動する剛体があるとして、その運動状態に応じた定常解や時間周期解の空間無限遠での減衰構造や安定性を擾乱の長時間挙動とともに明らかにすることは本研究の主題である。この主題について、本年度に研究代表者が証明した研究成果は以下のとおりである。剛体の運動が時間に依存するとき、線型化方程式は非自励系となり、その基本解は２径数発展作用素として与えられる。時間周期解の存在と一意性、安定性を示す強力な方法のひとつは発展作用素の時間減衰評価を応用することであるが、自励系のようにスペクトル解析を進めることはできず、代替の解析手法が期待されていた。本研究では、エネルギ一関係式と双対性を援用した０階の一様有界性評価を手がかりに進む新しい方法を提案し、実際に発展作用素の０階および空間１階の最適な減衰評価の導出に成功した。それを用いて、剛体の障害物の並進の方向と回転軸の方向の関係が全く一般な状況のもとで時間周期解の構成、およびスケ一ル臨界減衰のクラスでの一意性を示し、先行する関連研究の諸結果を本質的に改良した。さらに、得られた時間周期解の空間無限遠での各点減衰評価を詳しく求め、特に航跡を伴う異方的な減衰構造が取り出されるための十分条件を並進速度と回転行列によって記述した。得られたその条件は航跡の存在が示された先行研究での条件をすべてカバ一するという意味で、統一的な視点を与えている。また、上記の非自励系の長時間挙動を解析する方法は流体と剛体の運動が相互作用する問題へも応用された。諸事情により、現時点では剛体が球体の場合に限ってではあるが、非自明な主流の安定性を判定する初めての定理が証明された。先行研究では自明解の安定性のみが示されていたのみであり、主流が定常解であっても新しい成果であるが、本研究のやりかたはそれが例えば時間周期解のように時間依存である場合も許す。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非圧縮粘性流体の中の物体の運動の制御と安定性、流れの空間減衰構造、擾乱の長時間挙動、双方の運動の相互作用等の数学的解明が主題である。そして、それらの解析を通して関連する流体力学の諸問題の数学的基礎を与えることを研究目的としている。定常解や時間周期解に代表される主流の空間変数に関する詳細な漸近挙動、そしてそれらの主流のまわりでの線型化作用素の安定性解析が重要なステップとなる。研究代表者が2020年発表の論文で初めて提示された方法は、本年度の研究においても活用されるだけでなく、その射程を相当に拡げている。時間周期解が単に構成されたにとどまらず、航跡を有するための条件の統一的な理解へと繋がったことは意義深い進展であった。そのために、発展作用素による解が考察する問題の弱型式をみたすことを正当化し、切断の方法によって外部問題の弱型式から全空間での弱形式へ移行したうえで、全空間における明示的な基本解を通して航跡の挙動を引き出すという偏微分方程式論での自然な着想に沿った証明となっている。外部問題に対してまず開発された非自励系の解析手法が流体-剛体相互作用の問題へも応用できるように洗練されたことは、当初の期待に沿ったものである。自明解の安定性から非自明解のそれへ理論を拡大できたことは成果であった。そのために、圧力項の解析について、相互作用の問題に特有の工夫を要した。Stokes-structure作用素の成り立ちと構造に立ち入った解析に基づき、その分数べきを援用してresolventの挙動を調べ、それを通して圧力項の初期時刻近くでの評価を求める方法は、Navier-Stokes方程式を深く解析する際に常に論点となる圧力項の相互作用問題での取り扱いに示唆を与えるものであると期待される。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究課題としては、本年度に進展させた相互作用の安定性の解析を剛体の形状が一般な場合にまで進めることである。剛体の回転速度ベクトルを係数をする移流項が引き起こす諸性質は、その係数が与えられている場合には詳細に調べられてきたが、流体-剛体相互作用の問題におけるその項は非線型項となり、通常のやりかたでは摂動として扱えない。そのために、並進座標系への変換が可能な球体の場合に焦点をあてて本年度は研究を行った。球体でない場合は本年度の議論の枠組みであるmonolithic approachだけでは難しく、流体方程式を剛体方程式からいったん切り離すdecouplingなやりかたとの併用が望まれる。それらを切り離すと、流体方程式のほうへはこれまで研究代表者が蓄えてきた外部問題に対する知見を投入できるからである。一方で、切り離された剛体方程式は消散構造をいっさい有さないという弱点をもつ。流体方程式と組みにすることで初めて消散性が引き出され、それを伴うエネルギ一関係式が系全体に対して成り立つ。このことは本年度の研究においても重要な役割を果たし、またmonolithic approachが有効に機能する背景でもある。関数解析的に捉えようとすると動きがとれなくなるので、偏微分方程式論の立場で柔軟にdecouplingな視点も導入して一般形状の場合の安定性理論の構築を目指し、研究代表者が2017年に発表したself-propelled運動の境界上での制御、また2020年に発表した最適制御解、これらの安定性の証明に寄与したいと考えている。また、空間２次元の場合の進展も大切である。実は、研究代表者の方法と議論は今のところ、２次元ではうまく働かない。２次元の問題に対して本年度と同水準の成果を求めることは課題となる。
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