K安定性と極小モデル理論

• 研究課題/領域番号: 18K13388
• 研究種目: 若手研究
• 配分区分: 基金
• 審査区分: 小区分11010:代数学関連
• 研究機関: 大阪大学
• 研究代表者: 藤田 健人 大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (40779146)
• 研究期間 (年度): 2018-04-01 – 2023-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2022年度)
• 配分額: 4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円); 2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円); 2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2019年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円); 2018年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
• キーワード: K安定性 / 極小モデル理論 / Fano多様体 / ファノ多様体

研究成果の概要

偏極代数多様体、特にファノ多様体のK安定性を、極小モデル理論を背景とする双有理幾何学的な視点で考察した。ファノ多様体のK安定性の判定法として強力な「付値判定法」を推し進めたAbban-Zhuangの理論を用いるなどすることで、Araujo, Castravet, Cheltsov, Kaloghiros, Martinez-Garcia, Shramov, Suess, Viswanathan との共同で、全ての非特異3次元ファノ多様体の族の一般元がいつK安定かどうかを完全に決定することに成功し、本として出版予定である。

研究成果の学術的意義や社会的意義

与えられたファノ多様体にいつケーラー・アインシュタイン計量が存在するかどうかを決定するのはカラビの問題と呼ばれ、これまで非常に難しいとされた。近年この問題はK安定性なる代数的条件と同値であることが証明されたが、それでもなお具体的なファノ多様体がいつK安定かどうか判定することは困難であった。付値判定法やAbban-Zhuangの理論の発展やそれらを組み合わせた公式を導出し、一般元という条件付きだが3次元でのカラビの問題を解決できたのは学術的意義は大きい。また本として出版する予定なので、理論の編纂は社会的意義も大きい。

研究成果

• [国際共同研究] IMPA(ブラジル)
• [国際共同研究] Universite Paris-Saclay(フランス)
• [国際共同研究] Brunel University London/University of Edinburgh/University of Essex(英国)
• [国際共同研究] HSE University(ロシア連邦)
• [国際共同研究] Friedrich-Schiller-Universitaet Jena(ドイツ)
• [雑誌論文] Fano manifolds with many free divisors (2022)
  • 著者名/発表者名: Fujita Kento
  • 雑誌名: European Journal of Mathematics 巻: 8 号: 3 ページ: 909-931
  • DOI: 10.1007/s40879-022-00559-z
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] On K-Stability for Fano Threefolds of Rank 3 and Degree 28 (2022)
  • 著者名/発表者名: Fujita Kento
  • 雑誌名: International Mathematics Research Notices 巻: - 号: 15 ページ: 12601-12784
  • DOI: 10.1093/imrn/rnac190
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] K-stability of log Fano hyperplane arrangements (2021)
  • 著者名/発表者名: Fujita Kento
  • 雑誌名: Journal of Algebraic Geometry 巻: 30 号: 4 ページ: 603-630
  • DOI: 10.1090/jag/783
  • 査読あり
• [雑誌論文] On K-Polystability for Log Del Pezzo Pairs of Maeda Type (2020)
  • 著者名/発表者名: Fujita Kento
  • 雑誌名: Acta Mathematica Vietnamica 巻: 45 号: 4 ページ: 943-965
  • DOI: 10.1007/s40306-020-00388-w
• [雑誌論文] K-STABILITY OF FANO MANIFOLDS WITH NOT SMALL ALPHA INVARIANTS (2019)
  • 著者名/発表者名: Fujita Kento
  • 雑誌名: Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu 巻: 18 号: 3 ページ: 519-530
  • DOI: 10.1017/s1474748017000111
  • 査読あり
• [雑誌論文] A valuative criterion for uniform K-stability of Q-Fano varieties (2019)
  • 著者名/発表者名: Fujita Kento
  • 雑誌名: Journal fuer die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 巻: 2019 号: 751 ページ: 309-338
  • DOI: 10.1515/crelle-2016-0055
  • 査読あり
• [雑誌論文] Uniform K-stability and plt blowups of log Fano pairs (2019)
  • 著者名/発表者名: Fujita Kento
  • 雑誌名: Kyoto Journal of Mathematics 巻: 59 号: 2 ページ: 399-418
  • DOI: 10.1215/21562261-2019-0012
  • 査読あり
• [雑誌論文] Notes on K-Semistability of Toric Polarized Varieties (2019)
  • 著者名/発表者名: Fujita Kento
  • 雑誌名: Springer INdAM Ser. 巻: 31 ページ: 37-51
  • DOI: 10.1007/978-3-030-13158-6_3
  • ISBN: 9783030131579, 9783030131586
  • 査読あり
• [雑誌論文] The generalized Mukai conjecture for toric log Fano pairs (2019)
  • 著者名/発表者名: Fujita Kento
  • 雑誌名: European Journal of Mathematics 巻: 5 号: 3 ページ: 858-871
  • DOI: 10.1007/s40879-018-0302-5
  • 査読あり
• [雑誌論文] Optimal bounds for the volumes of K\"ahler-Einstein Fano manifolds (2018)
  • 著者名/発表者名: Fujita Kento
  • 雑誌名: American Journal of Mathematics 巻: 140 号: 2 ページ: 391-414
  • DOI: 10.1353/ajm.2018.0009
  • 査読あり
• [雑誌論文] On the K-stability of Fano varieties and anticanonical divisors (2018)
  • 著者名/発表者名: Kento Fujita and Yuji Odaka
  • 雑誌名: Tohoku Math. J. 巻: 70
  • 査読あり
• [学会発表] The Calabi problem for Fano threefolds (2022)
  • 著者名/発表者名: Kento Fujita
  • 学会等名: Pacific Rim Complex and Symplectic Geometry Conference
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] The Calabi problem for Fano threefolds (2022)
  • 著者名/発表者名: Kento Fujita
  • 学会等名: Recent Advances in Classical Algebraic Geometry (online)
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] The Calabi problem for Fano threefolds (2022)
  • 著者名/発表者名: Kento Fujita
  • 学会等名: IBS-CGP 10th Anniversary Conference
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] The Calabi problem for Fano threefolds (2022)
  • 著者名/発表者名: Kento Fujita
  • 学会等名: MPS conference on higher dimensional geometry
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] The Calabi problem for Fano threefolds (2022)
  • 著者名/発表者名: Kento Fujita
  • 学会等名: Birational Geometry and Kstability of Fano varieties
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] The Calabi problem for Fano threefolds (2022)
  • 著者名/発表者名: Kento Fujita
  • 学会等名: Algebraic Geometry Seminar, Center for Complex Geometry (online)
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] The Calabi problem for Fano threefolds (2022)
  • 著者名/発表者名: Kento Fujita
  • 学会等名: Algebraic Geometry Seminar, Yau Mathematical Sciences Center (online)
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] The Calabi problem for Fano threefolds (2021)
  • 著者名/発表者名: Kento Fujita
  • 学会等名: 第27回複素幾何シンポジウム (オンライン)
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] The Calabi problem for Fano threefolds (2021)
  • 著者名/発表者名: Kento Fujita
  • 学会等名: Birational Geometry Seminar, National Center for Theoretical Sciences (online)
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] K-stability of log Fano hyperplane arrangements (2019)
  • 著者名/発表者名: Kento Fujita
  • 学会等名: Kahler-Einstein metrics and degenerations
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Toward criteria for K-stability of log Fano pairs (2019)
  • 著者名/発表者名: Kento Fujita
  • 学会等名: Birational Geometry and Fano varieties, dedicated to V. Iskovskikh
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] The generalized Mukai conjecture for toric log Fano pairs (2019)
  • 著者名/発表者名: Kento Fujita
  • 学会等名: ファノ多様体及び関連する代数幾何学
  • 招待講演
• [学会発表] The generalized Mukai conjecture for toric log Fano pairs (2019)
  • 著者名/発表者名: Kento Fujita
  • 学会等名: Workshop on Algebraic Geometry, Xiamen University
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] On the uniform K-stability for some asymptotically log del Pezzo surfaces (2019)
  • 著者名/発表者名: Kento Fujita
  • 学会等名: Algebraic Geometry in Auckland
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Openness results for uniform K-stability (2019)
  • 著者名/発表者名: Kento Fujita
  • 学会等名: Algebraic Geometry and Moduli Theory
  • 招待講演
• [学会発表] Openness results for uniform K-stability (2018)
  • 著者名/発表者名: Kento Fujita
  • 学会等名: Algebraic Geometry in East Asia
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Toward criteria for K-stability of log Fano pairs (2018)
  • 著者名/発表者名: Kento Fujita
  • 学会等名: Connection for Algebraic Geometers
  • 国際学会 / 招待講演
• [備考] The Calabi problem for Fano treefolds
  • URL: https://archive.mpim-bonn.mpg.de/id/eprint/4589/1/mpim-preprint_2021-31.pdf