| 研究課題/領域番号 |
19H01782
|
|---|
| 研究種目 |
基盤研究(B)
|
| 配分区分 | 補助金 |
|---|
| 応募区分 | 一般 |
|---|
| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
|
|---|
| 研究機関 | 京都大学 |
|---|
研究代表者 |
加藤 周 京都大学, 理学研究科, 教授 (40456760)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
|
| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
|
| 配分額 *注記 |
17,160千円 (直接経費: 13,200千円、間接経費: 3,960千円)
2023年度: 2,210千円 (直接経費: 1,700千円、間接経費: 510千円)
2022年度: 4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2021年度: 4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2020年度: 3,250千円 (直接経費: 2,500千円、間接経費: 750千円)
2019年度: 3,510千円 (直接経費: 2,700千円、間接経費: 810千円)
|
|---|
| キーワード | ループ空間 / 反無限旗多様体 / アフィン・リー代数 / ヘッケ代数 / 量子K群 / 半無限旗多様体 / 半無限Richardson多様体 / 安定写像 / affine Grassmann多様体 / Frobenius分裂性 / 有理特異点 / コストカ関数 / 量子群 / Schubert多様体 / Richardson多様体 / Borel-Weil-Bottの定理 / 量子ループ代数 / 量子クーロン枝 / Demazure指標公式 / 非対称Macdonald多項式 / 代数的ループ空間 / アフィン・ヘッケ代数 |
|---|
| 研究開始時の研究の概要 |
表現論とはある対称性がどのような実現を持ち、また複数の実現の間にどのような関係が存在するかを研究する分野である。その中での幾何学的見地の重要性は同一の幾何学的構造(多様体とその上の構造物)の異なる解釈が異なる文脈で生まれた対称性や理論たちの間を結ぶ架け橋を提供してきたことが大きい。本研究ではそこで出現する多様体(たち)の代数的ループ空間を用いて幾何学的表現論の構成を強化し、古典的な枠組みでは理解できなかった表現論の構造を統制できる枠組みを構築することを試みる。また同時に既存の研究の示唆する表現論と数理物理などとの間にある関係などをより深く理解することを目指す。
|
| 研究実績の概要 |
今年度は半無限旗多様体のRichardson多様体上の直線束のコホモロジーと旗多様体への種数0の2点付きの安定写像のモジュライ空間の適切な部分多様体上の直線束のコホモロジーの一致を介して半無限旗多様体の同変K群の交叉に対応する積を直線束に対して考えることを作用素と思ったとき、それが量子K群を定めるK理論的Gromov-Witten線形形式において(直線束に対応するいわゆる)シフト作用素を考えることと同一視されることを示した。この事実は自然に半無限旗多様体の同変K群に旗多様体の同変量子K群からの写像が導かれることを意味する。さらにこの写像は適切な意味でSchubert基底を保つため、前年度までに確立した半無限旗多様体の同変K群と(いわゆる普通の)affine Grassmann多様体の同変K群の間の自然なつながりを組み合わせることにより古典的な量子コホモロジー環とaffine Grassmann多様体のホモロジー群の同型であるPeterson同型のK理論版を導くことになる。
ここで、affine Grassmann多様体の同変K群の融合積はその構成から有限性と呼ばれる性質を満たし、特に上のPeterson同型のK理論版は同変量子K群の有限性を導く。量子K群の積構造はそれを定めるK理論的Gromov-Witten線形形式が無限級数からなるためにアプリオリにはこのような意味での有限性を満たす理由はなく、このことは大きな未解決問題として残っていた。また、元々のコホモロジー版のPeterson同型の証明はSchubert基底同士の積公式を具体的に与えることが証明の出発点となっており、今回の構成のように具体的な環構造を使うことなく抽象的に公式が対応することを示すことにより直接有限性が出るというのは幾何学的Schubert calculusの分野においては大きなインパクトがあった。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
とりあえず元々の研究計画で行うことになっていたことの最低限度はクリアできたと思う。また、それにより数学的に十分な意味があると思われる結果を確立することができた。
|
| 今後の研究の推進方策 |
今年度は前年度の結果をなんとか出版に漕ぎ着けたい。また、それと同時に前年度の結果をいくつかの方向に一般化することやそのための準備とみなせる結果を模索したい。
|
