| 研究課題/領域番号 |
19H01786
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
太田 慎一 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (00372558)
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| 研究分担者 |
横田 巧 東北大学, 理学研究科, 准教授 (70583855)
高津 飛鳥 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (90623554)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
15,860千円 (直接経費: 12,200千円、間接経費: 3,660千円)
2023年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2022年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2021年度: 2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)
2020年度: 2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)
2019年度: 3,250千円 (直接経費: 2,500千円、間接経費: 750千円)
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| キーワード | 最適輸送 / 勾配流 / 凸関数 / リッチ曲率 / フィンスラー時空 / Gromov双曲空間 / 重心 / 情報幾何 / 非線形熱流 / ローレンツ幾何 / ピラミッド / 曲率 / 最適輸送理論 / Wasserstein距離 / 等周不等式 / ローレンツ・フィンスラー多様体 / 分解定理 / 測度の集中 / フィンスラー多様体 / フィンスラー幾何学 / ローレンツ幾何学 / 情報幾何学 / エントロピー / 局所化 / 対数ソボレフ不等式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究で主に取り組む課題は以下の2つです。
（A）熱の伝わり方やその空間の曲がり方との関係、2つの画像の近さを測る量など、非常に幅広い有用性を持つ最適輸送理論のより深い理解と、その理論・実用両面での応用を目指します。
（B）理論・実用双方で極めて基本的な道具である勾配流（ある量が最も減少する方向へと進む流れ）の、方向によって進みやすさが変わる（非等方的な）空間での研究を行い、そのような空間での幾何学・解析学への応用も研究します。
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| 研究成果の概要 |
本研究課題では、最適輸送理論に関わる比較幾何学、および距離空間上の凸関数の勾配流に関して、多くの成果が得られた。まず、最適輸送理論に基づく局所化の技法を用いて、重みつきリーマン多様体においてBakry-Ledoux型等周不等式の安定性と対数ソボレフ不等式の剛性を得た。また、時間方向に重みつきリッチ曲率が下に有界な重みつきフィンスラー時空に対し、種々の比較定理と時間的曲率次元条件を確立した。一方、勾配流の研究では、大域的な意味で負曲率を持つGromov双曲空間において、凸関数の時間離散的な勾配流の収縮性、確率測度の重心の収縮性と大数の法則を示した。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
重みつきフィンスラー時空の時間的曲率次元条件の確立は、近年活発になっている時間的曲率次元条件を満たすローレンツ弧長空間の比較幾何学および相対性理論的な研究におけるフィンスラー時空の立ち位置を明確にするものであり、ローレンツ弧長空間の今後の研究の方向性を定める上で本質的な重要性を持つ。また、Gromov双曲空間はリーマン多様体ではないフィンスラー多様体を含むため、凸関数の時間離散的な勾配流の収縮性は非リーマン的な距離空間で得られた初めての収縮性として価値がある。
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