| 研究課題/領域番号 |
19H01797
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
宮本 安人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90374743)
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| 研究分担者 |
内藤 雄基 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (10231458)
生駒 典久 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (50728342)
石毛 和弘 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90272020)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
17,030千円 (直接経費: 13,100千円、間接経費: 3,930千円)
2023年度: 2,730千円 (直接経費: 2,100千円、間接経費: 630千円)
2022年度: 2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)
2021年度: 4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2020年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
2019年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
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| キーワード | ソボレフ優臨界 / ジョセフ・ルンドグレン指数 / 球対称特異解 / モース指数 / 分岐図式 / 優臨界楕円型方程式 / 臨界楕円型方程式 / 放物型方程式 / 変分的手法 / 球対称解 / 擬スケール / 非線形楕円型方程式 / 非線形放物型方程式 / 優臨界 / 臨界 / 劣臨界 / 特異解 / 変分問題 / 時間局所可解性 / 変分法 / 劣臨界楕円型方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
楕円型方程式の一つの研究分野として，一つのパラメータλを持つ非線型楕円型偏微分方程式を考え，「λの値の応じて解の個数や性質などがどのように変化するのか？」を考える問題がある．この問題は，純粋数学，物理学，化学，生物学のモデル方程式などの分野に現れる基本的な問題の一つである．関数空間とλの直積空間上に解集合（分岐図式）を描くことが大きな目的である．本研究では非線形項の増大度を，臨界ソボレフ指数と比べることによって，3つの場合（優臨界・臨界・劣臨界）に分けて，分岐図式を解明することを目標とする．
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| 研究成果の概要 |
ソボレフ優臨界の楕円型方程式の解構造（分岐図式）を研究した．この方程式は，楕円型方程式の研究で通常用いられる変分法が適用できないことが知られており，その解構造は未知の部分が大きかった．この問題に対して領域を球に限定してDirichlet問題の正値解の分岐図式の分類を行った．特に球対称特異解が重要な役割を果たすことを明らかにし，その解の存在と一意性を証明し，特異点における漸近展開を求めた．また，いくつかの興味深い楕円型方程式に対してこの理論を適用し，分岐図式を分類した．
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
ソボレフ優臨界の増大度を持つ楕円型方程式について，２つの古典的な例（Gel'fand問題とジョセフ・ルンドグレンの問題）はよく知られていた．しかし，その他の方程式については，いくつかの限られた方程式についてのみ断片的にしか知られていなかった．
この研究により，（今まで知られている例をすべて含む形で）大幅に一般化された非線形項において，球領域における正値解の分岐構造が明らかになった．特に，多くの非線形項で上記の2つの古典的な場合と定性的に同じ分岐図式となることを明らかにした．
この結果は球領域に限られるが，球領域ではない場合についても，研究の指針を与えるものと期待している．
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