| 研究課題/領域番号 |
19H01797
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
宮本 安人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90374743)
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| 研究分担者 |
内藤 雄基 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (10231458)
生駒 典久 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (50728342)
石毛 和弘 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90272020)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
17,030千円 (直接経費: 13,100千円、間接経費: 3,930千円)
2023年度: 2,730千円 (直接経費: 2,100千円、間接経費: 630千円)
2022年度: 2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)
2021年度: 4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2020年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
2019年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
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| キーワード | ソボレフ優臨界 / ジョセフ・ルンドグレン指数 / 球対称特異解 / モース指数 / 優臨界楕円型方程式 / 臨界楕円型方程式 / 放物型方程式 / 変分的手法 / 球対称解 / 擬スケール / 非線形楕円型方程式 / 非線形放物型方程式 / 優臨界 / 臨界 / 劣臨界 / 特異解 / 変分問題 / 時間局所可解性 / 変分法 / 劣臨界楕円型方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
楕円型方程式の一つの研究分野として，一つのパラメータλを持つ非線型楕円型偏微分方程式を考え，「λの値の応じて解の個数や性質などがどのように変化するのか？」を考える問題がある．この問題は，純粋数学，物理学，化学，生物学のモデル方程式などの分野に現れる基本的な問題の一つである．関数空間とλの直積空間上に解集合（分岐図式）を描くことが大きな目的である．本研究では非線形項の増大度を，臨界ソボレフ指数と比べることによって，3つの場合（優臨界・臨界・劣臨界）に分けて，分岐図式を解明することを目標とする．
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| 研究実績の概要 |
(1) 優臨界楕円型方程式の解構造：本研究課題の中心テーマである優臨界楕円型方程式の解構造については，Dirichlet問題については当初予定していた成果が得られた．具体的には，空間3次元以上の球領域における優臨界半線形楕円型方程式のDirichlet問題の正値解を考え「その取りうる分岐図式の形状を明らかにし分類する」という大きな目標を掲げていた．これまでの研究から正値な特異球対称解が重要な役割を果たすことが明らかになっていた．その性質が大きく変わるジョセフ・ルンドグレン指数より小さい場合は，先行研究で詳しく調べられているが，大きい場合が不十分であった．本年度は内藤雄基氏との共同研究により，増大度の指数に適切な仮定を課すと特異解が安定となり，これから得られる帰結として，対応する分岐図式が折り返し点を持たないことを証明した．具体例として幾つかのモデルケースでは11次元以上で古典的Gel'fand問題と同種の結果が得られることを証明した．これらの成果をまとめて論文を執筆し投稿した．また，9月に日本数学会主催で開かれた日韓共同研究集会（MSJ-KMS Joint Meeting 2023）と，2023年日本数学会実函数論分科会（特別講演）で，これらの研究成果を発表した．
(2) 臨界・劣臨界楕円型方程式：解のモース指数の正確な値や，上下からの評価を求めるという研究テーマに興味を持ち研究を進めている．本年度は新たな問題に取り組み大きな成果が得られた．それらを論文にまとめた．
(3) 放物型方程式：放物型方程式の解が存在するためには「初期関数が特異性を持ったとしても，どの程度弱いか？」が重要な問題である．解の存在と非存在を分けるギリギリの特異性を見極める研究であり，多くの場合には特異定常解がそれになることが経験上知られている．この問題に対して今年度は大きな進展がなかった．
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| 現在までの達成度 (段落) |
令和5年度が最終年度であるため、記入しない。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和5年度が最終年度であるため、記入しない。
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