| 研究課題/領域番号 |
19H01800
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 大阪公立大学 (2022)
大阪市立大学 (2019-2021) |
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研究代表者 |
高橋 太 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (10374901)
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| 研究分担者 |
加藤 信 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (10243354)
橋詰 雅斗 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 助教 (20836712)
石渡 通徳 大阪大学, 大学院基礎工学研究科, 教授 (30350458)
猪奥 倫左 東北大学, 理学研究科, 准教授 (50624607)
佐野 めぐみ 広島大学, 先進理工系科学研究科(工), 准教授 (70834935)
高津 飛鳥 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (90623554)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
14,040千円 (直接経費: 10,800千円、間接経費: 3,240千円)
2022年度: 3,510千円 (直接経費: 2,700千円、間接経費: 810千円)
2021年度: 3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2020年度: 2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)
2019年度: 4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
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| キーワード | 臨界型変分問題 / 非コンパクト性 / 爆発解析 / Hardy 不等式 / Trudinger-Moser 不等式 / 領域の幾何 / コンパクト性の喪失 / 関数不等式 / Sobolev 不等式 / Hardy 型不等式 / Trudinger-Moser 型不等式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究課題の概要は、種々の解析学の基本不等式に関わる臨界型変分問題において、
領域の境界の曲率や形状、滑らかさ・特異性などの幾何学的性質が、付随する変分汎関数の臨界点集合の大域的構造やその非コンパクト性にどのように影響するのかを、偏微分方程式論的手法と微分幾何学的手法を駆使して定量的に明らかにすることである。特に、「集中・消失現象を起こす非コンパクトな臨界型変分問題において、その解空間の大域的構造、及びコンパクト性喪失メカニズムと領域の幾何はどのように関連しているのか？ 」という根源的問いに答えることを目的としている。
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| 研究成果の概要 |
本研究課題では、近似解の列の相対コンパクト性がアプリオリには成り立たない「臨界型変分問題」を取り扱い、解空間の大域的構造及び近似解の列がコンパクト性を喪失する機序について研究を行った。特に領域の境界の曲率や形状、滑らかさなどの微分幾何学的性質の影響について、 Hardy 型不等式や Trudinger-Moser 型不等式に付随する変分問題を中心に研究を行い、コンパクト性喪失メカニズムと領域の幾何との相関に関して新規な成果を得た。また、制約条件付きベクトル場に対する Hardy-Leray 不等式の最良定数についても結果を得た。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
本研究課題では、 臨界型変分問題の解空間の大域的構造やエネルギー汎関数の非コンパクト性が、領域の境界の曲率や領域の形状、滑らかさなどの微分幾何学的性質とどのように関係するのかを定量的に解明することを目的とした。臨界型変分問題の代表例である Hardy 不等式や Sobolev 不等式などの関数不等式の最良定数に関わる変分問題は、それら関数不等式が解析学の広範な分野で基本的道具として使用されていることを鑑みると、その重要性は論を俟たない。また、関数列の（非）コンパクト性という解析的性質と領域の幾何学的性質の相関の解明は、工学や数値解析などの分野でも重要であろう。
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