| 研究課題/領域番号 |
19K03402
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
上岡 修平 京都大学, 情報学研究科, 助教 (70543297)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2020年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2019年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 平面分割 / 数え上げ組合せ論 / 可積分系 / ランダムウォーク / 乱択アルゴリズム / 直交多項式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
逆平面分割は「よい母関数」すなわち解析しやすい積表示を持つ母関数を持つ組合せ論的オブジェクトである．本研究では逆平面分割の「よい母関数」の新たな発見を目指して，直交多項式と可積分系を用いて次の4項目を実施する．（１）「通常の逆平面分割のよい母関数」の具体例の計算（H31年度）．（２）「対称な逆平面分割のよい母関数」の構成法の直交多項式・可積分系による定式化（H32-33年度）．（３）「対称な逆平面分割のよい母関数」の具体例の計算（H33-34年度）．（４）新しい直交多項式の詳しい解析（H35年度まで必要に応じて随時）．
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| 研究実績の概要 |
逆平面分割は「よい」母関数，すなわち解析しやすい積の形に表せる母関数を持つ組合せ論的オブジェクトであり，組合せ論分野において重要な研究対象である．本研究の主目的は，逆平面分割およびそれに類する組合せ論的オブジェクトに対して，よい母関数を新規に発見・構成することである．本研究の特色は，よい母関数を構成するために直交多項式および可積分系を利用する点にある．本研究の3年目までの期間において，逆平面分割のよい母関数を，離散二次元戸田方程式という可積分系の解から構成する手法を開発した．
本研究の4年目にあたる令和4年度では，この手法の新しい応用として，平面上の格子路（ランダムウォーク）および逆平面分割をランダムに生成するための乱択アルゴリズムを，離散二次元戸田方程式に基づき開発した．本アルゴリズムは，可積分系の解から逆平面分割のよい母関数をつくるという本研究のアイデアを，ある意味で逆転して得たものである．同様の目的で考案された既存のアルゴリズムと比較するとき，本アルゴリズムの新規性および利点は次の（i）と（ii）を両立している点にある．
（i）適用範囲の広さ：一様分布とは限らない多様な確率分布に対して，まったく同じ方法で逆平面分割を生成することができる．確率分布の多様性は，基盤に据えた離散二次元戸田方程式の解の多様性に直接由来する．
（ii）高速性：同様の目的で考案された既存の最速アルゴリズムと比較して，理論的な時間計算量は同程度である．実際の数値実験では，Borodin-Gorinのアルゴリズム（2009）よりも2倍弱速く，Krattenthalerのアルゴリズム（1999）より10倍弱遅いことが確認された．ただしこれら既存の手法は（i）の機能を持たない．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
令和4年度の当初計画では主に次の事項の実施を予定していた.
・対称な逆平面分割に対して，直交多項式および可積分系によるよい母関数の構成法を定式化し，それを用いて未知のよい母関数を具体的につくる．
研究実績の概要で述べた通り，本年度は，対称性を課さない逆平面分割に対して，本研究の当初の目標からさらに進んだ地点にある応用研究（乱択アルゴリズムの開発）を実施した．その結果，当初の目論見外の成果を得ることができ，本研究の方法論について，意義のある新しい研究の方向性を見出すことができた．一方で，対称な逆平面分割のよい母関数をつくるという当初の目標については，よい母関数の予想式やパフィアン表示など準備段階の知見はあるものの，実施を完遂できていない．次年度は，対称な逆平面分割について，本年度に得た乱択アルゴリズムに関する知見も参考にしつつ研究を進めていく．
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究の最終年にあたる令和5年度では以下2点を実施する.
（1）直交多項式および可積分系による対称な逆平面分割のよい母関数の構成：本研究で得られた，逆平面分割などのよい母関数の構成法，および逆平面分割の乱択アルゴリズムに関する知見を活用し，対称な逆平面分割のよい母関数の構成法を直交多項式（歪直交多項式など）および可積分系（Pfaff格子など）を用いて定式化する．またそれに基づき未知のよい母関数を具体的につくる．
（2）上記（1）において未知の直交多項式が現れた場合，その性質を詳しく調べる．特に，古典直交多項式を拡張する直交多項式が見つかった場合，オリジナルの古典直交多項式が満たすよい性質（明示公式，直交関係式，微分・差分方程式による特徴付け，上昇・下降演算子の存在など）について重点的に調べる．その成果をフィードバックしてよい母関数のさらなる発見につなげる．
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