| 研究課題/領域番号 |
19K03403
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 愛媛大学 |
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研究代表者 |
安部 利之 愛媛大学, 教育学部, 教授 (30380215)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2020年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2019年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 頂点作用素代数 / 有限群 / オービフォールド模型 / 原田予想 / 指標 / ムーンシャイン頂点作用素代数 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では頂点作用素代数と呼ばれる無限個の演算を持つ代数系の対称性について扱う．その対称性にはモンスター群と呼ばれる非常に興味深い物も現れる．頂点作用素代数は無限次元なので対称性は非常に大きいと思われれるが，演算がたくさんあるので対称性に制約が付く．そのバランスがうまく取れるとモンスター群のような対称性が出現する．本研究では有限群の予想である「原田予想」の解決も目指しつつ有限群・頂点作用素代数の両面からこの仕組みを解明すべく研究を進める．
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| 研究実績の概要 |
本年度は主に原田予想IIの解決について, 新しい観点からの研究に取り組んだ.原田予想IIは,有限群の共役類の基数の積と既約次数の積の比が整数になるという予想である.有限群 G に対し,その比 h(G) を原田数と呼ぶが, h(G)の平方が群の群環の中心の自然なエルミート形式の共役和から得られる基底に関するグラム行列式の絶対値を群の中心化部分群の位数の積で割った比になることは, 既に本研究課題の成果として得られている.本年度の大きな成果の一つは,この原田数 h(G)を,群の中心的部分群とその既約指標を用いて一般化したことである. 更に,一つ中心的部分群を固定すると, その既約指標に対し定まる一般化された原田数をすべての既約指標にわたって掛け合わせることで,原田数が復元できることも証明した.この原田数の因子分解を用いて,既約指標を経由しない形で多くのべき零群の原田数を再計算できた。
一方で、原田数は中心的部分群を固定したときの一般化した原田数の積であることから、この一般化した原田数が整数であれば、原田予想IIが解決されることが分かる。具体例でこのことを検証すると、二面体群の場合において、非整数が現れることが分かったため、単純に原田予想の解決につながらないことも確認できた。
頂点作用素代数についての予想として, ムーンシャイン頂点作用素代数の一意性問題及びオービフォールド模型のC2余有限性について継続して考察した. 残念ながら大きな進展は得られなかったが, twisted 加群の構成について現在少し考察を深め, 自己同型の存在とtwisted 加群の構成との関係を明らかにすることで大きな進展が得られると期待している。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
原田予想IIの解決については, 当初の想定以上に新しいことを見出すことができ, 特に原田数の計算において, 既約指標を経由しない, 新規の計算手段が得られた点で進展していると考えている.一方で頂点作用素代数のに関するムーンシャイン頂点作用素代数の一意性予想の解決については, 様々な観点から解決を試みているが,決定的な解決の糸口は見いだせていない.本質的な部分は, 重み1の空間からリー群の作用を通した自己同型の構成のような一般的な頂点作用素代数の構成が望めないところであると考えている. 本予想が肯定的であれば, 少なくとも重み 2 の空間にある Ising 模型に対応するベクトルから得られる自己同型が構成されるため, まずは自己同型写像が生じるための頂点作用素代数の構造の研究を更に進める必要があると考えている.
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は次の二点について研究を推進する。まず原田予想IIの別方向からの一般化である。可解群の大事な性質として, 極大部分群による剰余群が巡回群になることが挙げられる。本年度の成果で得られた方針を, 今度は剰余群に適用し別方向から原田数にアプローチする.冪零群の場合は中心的部分群からと剰余巡回群からの二方向からとらえることで, 更に原田数の構造を明白にできると考えている.正則頂点作用素代数の自己同型の構成については, twisted 加群の構成について更に研究を進めることで, 頂点作用素代数の自己同型を構成することを目指す.本来は自己同型に付随するtwisted 加群であるが,自己同型の依存性を抽出することで, 自己同型に依存しないtwisted 加群の定義を見出すことを試みる.そして c=24 正則頂点作用素代数に対しその存在を示すことで, 逆に自己同型を構成することを考えている.
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