| 研究課題/領域番号 |
19K03406
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 鹿児島大学 |
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研究代表者 |
有家 雄介 鹿児島大学, 法文教育学域教育学系, 准教授 (50583770)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2019年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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| キーワード | 頂点作用素代数 / モジュラー不変性 / モジュラー微分方程式 / モジュラー形式 / テンソル圏 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
頂点作用素（超）代数のモジュラー不変性と，表現のテンソル積であるフュージョン積の関係について研究する．特に，モジュラー不変性を用いて表現圏のテンソル圏構造を記述するフェアリンデ型公式に着目し，この公式を非半単純な場合や，超代数の捩れ加群を含む圏に対して一般化することを目的とする研究を行う．更に，超代数の表現圏と偶部分の表現圏の類似性について考察を行う．
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| 研究実績の概要 |
今年度は，頂点作用素超代数の指標のモジュラー不変性に関する研究を行った．まず，これまでに知られていたある合同部分群による一点関数の空間のモジュラー不変性について，より大きい合同部分群によるモジュラー不変性が得られるかどうかについて検討した．結果として，一点関数の空間が超代数構造から定まる自己同型を固定するような合同部分群について不変になることを見出し，さらに，有理的な頂点作用素超代数に対して，その一点関数の空間が，既約表現を基底に持つことも，よく知られている結果の自然な拡張として得られることも証明した．この結果を示す過程で，一点関数の満たすモジュラー微分方程式が，今回見出した合同部分群のモジュラー形式を係数に持つように取れることがわかった．特に，頂点作用素超代数の（擬）指標はテータ群と呼ばれる特別な合同部分群により不変となり，さらに，テータ群に関するモジュラー微分方程式を満たすことを示した．
また，有理的とは限らない状況において，上で現れるモジュラー微分方程式を解析し，特に（擬）指標のつくるベクトル値モジュラー形式の成分の生成する空間がいつモジュラー微分方程式の解空間を与えるかについて，モジュラーロンスキアンと呼ばれる対象を通して調べる方法について考察した．モジュラーロンスキアンは，モジュラーウェーバー関数とデデキントエータ関数を用いて表す公式が予想できたが，これを証明することは今後の課題である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
頂点作用素超代数の一点関数の空間に対して，作用が不変となる合同部分群を決定し，現れるモジュラー微分方程式について，新たな結果が得られたため．
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| 今後の研究の推進方策 |
モジュラーロンスキアンに関する予想を証明し，さらに擬跡関数について考察し，一点関数の空間を記述する．
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