| 研究課題/領域番号 |
19K03430
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 日本大学 |
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研究代表者 |
吉田 健一 日本大学, 文理学部, 教授 (80240802)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2019年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 幾何種数イデアル / 楕円型イデアル / 正規還元種数 / 正規正接錐 / Gorenstein / ｐｇイデアル / 強楕円型イデアル / 有理特異点 / 正規イデアル / Hilbert-Kunz 重複度 / pg イデアル / 正規環元種数 / F-signature / regular / F-regular / Frobenius morphism / Frobenius pushforward / Cohen-Macaulay / canonical module / Hiilbert-Kunz 重複度 / 整閉イデアル / Ulrich イデアル |
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| 研究開始時の研究の概要 |
従来までの Hilbert-Kunz 重複度の研究は主として， 極大イデアルに関するHilbert-Kunz 重複度と他の不変量を比較して調べることにより，その局所環の性質を明らかにするという方法が用いられてきた。本研究は「極大イデアル」を「良い性質を持つ整閉イデアル」という対象に広げて研究する点に独創性があると言える。
また、本研究では，Hilbert-Kunz 重複度が非常に小さいものや特徴的な値を取るものに注目して，代表的な高次有理特異点のクラスを発見する予定である。
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| 研究実績の概要 |
研究代表者は，幾何種数イデアルを共に創設した共同研究者である渡辺敬一氏（日本大学文理学部，明治大学研究・知財戦略機構），奥間智弘氏（山形大学理学部）とイタリアの Rossi 教授の協力の下で，前年度までの研究において，楕円型イデアルを定義し，その特徴づけに成功した。我々が研究している２次元正規特異点においては，幾何種数イデアルや楕円型イデアルは「幾何的イデアル」であり，その性質はしばしば対応する特異点解消とアンチネフサイクルの言葉で特徴付けることができる。本研究は，これらの幾何的イデアルを分類するという観点から，「正規正接錐の Gorenstein 性」の研究にシフトしつつある。この研究においては，ベースになる環は Gorenstein と仮定するが，幾何種数イデアルの場合には「正規正接錐の Gorenstein 性」は good イデアルという別の幾何的イデアルと深く関連しているように思われる。実際，good な幾何種数イデアルは，正規正接錐が Gorenstein になる正規還元種数１のイデアルとして特徴付けられる。本年度の研究成果として，楕円型イデアルの場合に, 正規正接錐が Gorenstein になるための必要十分条件として，対応するサイクルのオイラー標数が零であるという条件を与えた。結果として, 幾何種数，または, 正規還元種数が２以下の Gorenstein 環の極大イデアルに関する正規正接錐がつねに Gorenstein になることを証明することができる。さらに, ある種の楕円特異点の場合には, 幾何的な考察により, 正規正接錐が Gorenstein になる楕円イデアルは高々有限個であることなども示すことができた。これは, 可換環論的対象であるイデアルを幾何的に特徴づけることにより証明が可能になった成果の１つと考えている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
令和４年度はまだ，国内の研究集会の多くがまだハイブリッド開催されている状況であった。また，所属大学では国際研究集会の参加が基本的に認められていなかったこともあり，研究費の使用という観点ではやや遅れが見られた。一方、研究上は正規正接錐という新しい研究対象が見つかり，活性化が期待される状況である。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和５年度は，正規正接錐の Gorenstein 性について, 楕円型イデアル場合を含めて，多くの成果が期待される状況である。これらの結果の広報活動という視点から，可換環論のみならず、広く代数系の主催する研究集会で研究発表する予定である。また，Brieskorn 型超曲面の場合は組み合わせ論的に興味深い結果が得られており，その計算にも時間を割きたい。
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