ガロア点を用いた射影多様体の分類理論と新展開

• 研究課題/領域番号: 19K03438
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分11010:代数学関連
• 研究機関: 山形大学
• 研究代表者: 深澤 知 山形大学, 理学部, 准教授 (20569496)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2023-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2022年度)
• 配分額: 2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円); 2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2020年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円); 2019年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
• キーワード: ガロア点 / 自己同型群 / Weierstrass点 / ガロア群 / 射影 / 正標数 / 準ガロア点 / ガロワ点 / Weierstrass 点

研究開始時の研究の概要

ガロア点を用いた射影多様体の分類理論を推進し, 他分野との関係の中から新たな発展を創出するという２つを目的とする.
これらの目的において用いられる手法は Weierstrass 点の一般論, 研究代表者の判定法, 正標数代数曲線の分岐理論である. また, 群論的手法も参考にしたい. 研究手法の効果を高める為, 群論と代数幾何関連の図書を購入し, 関連する研究集会に参加する. 新展開創出と他分野の知識吸収の為, 符号理論や有限数学関連の図書を購入し, 関連する研究集会に参加する.
「Workshop on Galois point and related topics」を開催する.

研究成果の概要

10の成果があった。そのうち6つを並べる。(1)「一直線上にない３つのガロア点の存在判定法」の発見 (2)「与えられた代数曲線が平面曲線の２点のガロア閉包として実現される判定法」の発見 (3) ガロア点研究と有限体上の有理関数のvalue set研究との結びつけ (4) Hermitian 曲線のある種のelementary abelian p-coverの自己同型群とガロア点配置決定、種々の性質の解明 (5) Artin-Schreier-Mumford 曲線およびgeneralized ASM曲線に関する自己同型群とガロア直線配置の決定 (6)「ガウス写像が分離的な接的退化空間曲線」の構成

研究成果の学術的意義や社会的意義

ガロア点やガロア直線は曲線の対称性を表現していると考えられます。本研究においては有限体上定義された代数曲線について、ガロア点やガロア直線の配置を明らかにしました。有限体上の代数曲線は符号（例：QRコード）の構成に用いられています。ここに、ガロア点理論と符号理論とのつながりが見えます。また、本研究では「ガロア点研究」と「有限体上の（有理）関数研究」を結びつけました。有限体上の関数や有理関数は、有限幾何や暗号理論において研究されています。付随して得られた「ガウス写像が分離的な接的退化曲線の構成」は、Terraciniの1932年の問題にさかのぼり、90年ものの問題への貢献となります。

研究成果

• [国際共同研究] サンパウロ大学/カンピーナス大学(ブラジル)
• [国際共同研究] サンパウロ大学/カンピーナス大学(ブラジル)
• [国際共同研究] サンパウロ大学(ブラジル)
• [国際共同研究] サンパウロ大学(ブラジル)
• [雑誌論文] Algebraic curves admitting non-collinear Galois points (2023)
  • 著者名/発表者名: Fukasawa Satoru
  • 雑誌名: Rendiconti del Seminario Matematico della Universita di Padova 巻: 149 ページ: 183-190
  • DOI: 10.4171/rsmup/114
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] Automorphism group, Galois points and lines of the generalized Artin-Schreier-Mumford curve (2022)
  • 著者名/発表者名: Fukasawa Satoru
  • 雑誌名: Geometriae Dedicata 巻: 216 号: 2
  • DOI: 10.1007/s10711-022-00679-6
  • 査読あり
• [雑誌論文] Algebraic curves admitting the same Galois closure for two projections (2022)
  • 著者名/発表者名: Satoru Fukasawa, Kazuki Higashine and Takeshi Takahashi
  • 雑誌名: Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923-) 巻: - 号: 5 ページ: 2055-2061
  • DOI: 10.1007/s10231-022-01191-0
  • 査読あり
• [雑誌論文] Examples of plane curves admitting the same Galois closure for two projections (2022)
  • 著者名/発表者名: Fukasawa Satoru
  • 雑誌名: Communications in Algebra 巻: 50 号: 10 ページ: 4188-4190
  • DOI: 10.1080/00927872.2022.2057524
  • 査読あり
• [雑誌論文] An elementary abelian p-cover of the Hermitian curve with many automorphisms (2022)
  • 著者名/発表者名: Borges Herivelto、Fukasawa Satoru
  • 雑誌名: Mathematische Zeitschrift 巻: 302 号: 2 ページ: 695-706
  • DOI: 10.1007/s00209-022-03083-8
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Galois lines for the Artin-Schreier-Mumford curve (2021)
  • 著者名/発表者名: Satoru Fukasawa
  • 雑誌名: Finite Fields and Their Applications 巻: 75 ページ: 101894-101894
  • DOI: 10.1016/j.ffa.2021.101894
  • 査読あり
• [雑誌論文] Algebraic curves with collinear Galois points (2021)
  • 著者名/発表者名: Satoru Fukasawa
  • 雑誌名: Nihonkai Mathematical Journal 巻: 32 ページ: 71-78
  • 査読あり
• [雑誌論文] A birational embedding with two Galois points for quotient curves (2021)
  • 著者名/発表者名: Fukasawa Satoru、Higashine Kazuki
  • 雑誌名: Journal of Pure and Applied Algebra 巻: 225 号: 3 ページ: 106525-106525
  • DOI: 10.1016/j.jpaa.2020.106525
  • 査読あり
• [雑誌論文] Examples of plane rational curves with two Galois points in positive characteristic (2020)
  • 著者名/発表者名: Fukasawa Satoru、Waki Katsushi
  • 雑誌名: Finite Fields and their Applications: Proceedings of the 14th International Conference on Finite Fields and their Applications, Vancouver, June 3-7, 2019 巻: - ページ: 181-188
  • DOI: 10.1515/9783110621730-012
  • ISBN: 9783110621730
  • 査読あり
• [雑誌論文] Galois points for double-Frobenius nonclassical curves (2020)
  • 著者名/発表者名: Borges Herivelto、Fukasawa Satoru
  • 雑誌名: Finite Fields and Their Applications 巻: 61 ページ: 101579-101579
  • DOI: 10.1016/j.ffa.2019.101579
  • 査読あり / 国際共著
• [学会発表] Galois points and rational functions with small value sets (2022)
  • 著者名/発表者名: 深澤 知
  • 学会等名: 誤り訂正符号と超平面配置の関係とその応用
  • 招待講演
• [学会発表] Algebraic curves admitting the same Galois closure for two projections (2022)
  • 著者名/発表者名: Satoru Fukasawa
  • 学会等名: Branched coverings, Degenerations, and Related Topics 2022
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Galois points and rational functions with small value sets (2022)
  • 著者名/発表者名: 深澤 知
  • 学会等名: 2022早稲田整数論研究集会
  • 招待講演
• [学会発表] 代数曲線に対するガロア点を２つもつ判定法とその応用 (2021)
  • 著者名/発表者名: 深澤 知
  • 学会等名: 日本数学会東北支部会
  • 招待講演
• [学会発表] Artin-Schreier-Mumford 曲線の自己同型群とガロア直線 (2021)
  • 著者名/発表者名: 深澤 知
  • 学会等名: 代数幾何ミニワークショップ「ガロア点、有限体、代数曲線」
  • 招待講演
• [学会発表] A birational embedding with two Galois points for quotient curves (2019)
  • 著者名/発表者名: Satoru Fukasawa
  • 学会等名: The 14th International Conference on Finite Fields and their Applications
  • 国際学会
• [学会発表] Algebraic curves admitting non-collinear Galois points (2019)
  • 著者名/発表者名: 深澤 知
  • 学会等名: Workshop on Galois point and related topics
  • 招待講演
• [学会発表] 代数曲線に対するガロア点を２つもつ判定法とその拡張, 応用 (2019)
  • 著者名/発表者名: 深澤 知
  • 学会等名: 都の西北 代数幾何学シンポジウム 2019
  • 招待講演
• [学会発表] 代数曲線に対するガロア点を２つもつ判定法とその拡張, 応用 (2019)
  • 著者名/発表者名: 深澤 知
  • 学会等名: 第17回代数曲線論シンポジウム
  • 招待講演
• [備考] 深澤研究室
  • URL: https://sites.google.com/sci.kj.yamagata-u.ac.jp/fukasawa-lab