| 研究課題/領域番号 |
19K03461
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 北海道大学 (2022)
筑波大学 (2019-2021) |
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研究代表者 |
井ノ口 順一 北海道大学, 理学研究院, 教授 (40309886)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2019年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 調和写像 / J-軌道 / 磁場曲線 / 重調和写像 / 極小曲面 / 可解リー群 / ハイゼンベルグ群 / リー球面幾何 / 磁場軌道 / LCK多様体 / 統計リー群 / ガウス写像 / グラスマン幾何 / デモラン曲面 / 射影微分幾何 / 双曲空間 / ループ群 / 反ド・ジッター空間 / 等質空間 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
サーストンの分類により3次元幾何学には8種の基本となる空間(モデル空間)が存在する。定曲率空間でない5種のモデル空間における曲面の微分幾何学・幾何学的変分問題の展開が熱望されているが対称性の低さのために困難を極めている。本研究は非定曲率モデル空間内の平均曲率一定曲面の構成法を与えることが目的である。
本研究では対称性を備えた「リーマン面を定義域とし2次元双曲空間に値をもつ調和写像」のループ群論を用いた構成法を与える。この構成法を基軸とし、3次元反ド・ジッター空間(AdS3)内の平均曲率0の空間的曲面（極大曲面）および非定曲率モデル空間内の平均曲率一定曲面を構成することを具体的目標とする。
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| 研究実績の概要 |
本研究の主要課題である「調和写像の構成と等質空間内の曲面論への応用」に関し、等質空間の幾何学の観点から研究を遂行し以下の研究成果を得た。
（１）双曲平面に値をもつ「対称性を備えた調和写像」を用いた3次元ハイゼンベルグ群内の極小曲面の構成に関する以前の研究成果に改良を加えることに成功し、論文発表を行なった（Dorfmeister氏、小林真平氏との共著論文）。（２）前年度に着想した「双曲平面Hを複素部分多様体として含む４次元等質空間（サーストン幾何のモデル空間）内の部分多様体論の活用」を敷衍した。その成果として３次元双曲空間H3と直線の直積空間H3XR、可解リー群Sol40、可解リー群Sol41内の極小部分多様体（これらは調和写像である）のリー群論的構成、複素構造に関する条件設定の下での分類に関し、部分的な結果を得た（Erjavec氏との共著論文を投稿した）。（３）前年度に遂行したSol40およびSol41内のJ-軌道（磁場軌道の４次元類似）を再度精査し、Vaisman曲面内のJ-軌道の求積と曲率による特徴づけを与えた（Lee氏との共著論文を発表）。（４）前年度までに得られた磁場軌道に関する研究成果を整理し総説論文（Munteanu氏との共著）を発表した。（５）関連研究として３次元概接触多様体の重調和曲線（Lee氏との共著論文）およびパラ佐々木多様体内の磁場軌道の類似に関する論文（単著）を発表した。（６）前年度に引き続きリー球面幾何学からの調和写像の検討を行なった。その副産物として構造設計におけるメビウス幾何学的手法とラゲル幾何学的手法の統合としてのリー球面幾何学的手法を（幾何学と整合的な形で）与えられることを発見し、成果発表（口頭発表）を行なった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
今年度の研究方針は前年度の実施状況報告書「今後の研究の推進方策」で挙げた３つの観点（１）「リー球面幾何と射影微分幾何の観点」（２）「グラスマン幾何の観点」（３）「複素幾何の観点」を主軸としたものであった。（１）に関しては調和写像との関連について進展がみられた上に、建築構造設計への応用に関し、一定の進展を得た。（２）に関しては双曲平面Hと直線の直積HXRの軌道型曲面の具体的な記述において大きな改善に成功した。（３）新たに投入した「複素幾何の観点」により、３種の４次元モデル空間（３次元双曲空間H3と直線の直積H3XR、可解リー群Sol40、Sol41）において、正則曲線、全実曲面、超曲面で調和写像となるものの部分的な分類に成功した。一方で3次元反ド・ジッター時空AdS3における極大曲面およびHXRの平均曲率1/2曲面の調和写像による構成に関しては、海外研究者との共同研究と海外での成果発表が当初予定の期間から延期となった。競合する海外の研究者による研究成果の精査にも時間を割く必要がありやや研究ペースが緩やかになった。
総合として、やや遅れていると判断する。
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| 今後の研究の推進方策 |
「調和写像によるHxRの曲面の構成」と「HxRのグラスマン幾何」の統合を主眼として本研究課題を遂行する。
今年度の「遅れ」は若干のものであり挽回が可能である。この若干の遅れを確実に挽回するため、複素解析および低次元トポロジーから着想した新規のアイディアを投入する。磁場曲線、工業意匠設計、建築構造設計、情報幾何学への応用も継続して適宜、検討する。研究の進展・競合する研究者の成果発表・研究動向に応じて臨機応変に研究順序などを修正し対応する。
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