| 研究課題/領域番号 |
19K03467
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 愛媛大学 |
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研究代表者 |
山内 貴光 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (00403444)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2020年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2019年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 漸近次元 / 群作用 / 粗構造 / 漸近的性質C / 有限分解複雑性 / 粗幾何学 / 次元 / 位相空間 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
粗幾何学(または大尺度幾何学)とは, 遠くで眺めて同じに見える(距離)空間を同じと考える幾何学である. 粗幾何学における中心的な予想が微分トポロジー等に応用をもつ粗Baum-Connes予想であり, 漸近次元や境界と呼ばれる位相空間が, この予想に重要な役割を果たしている. 本研究では, 漸近次元や境界に関する未解決問題に挑戦すると共に, 漸近次元に関連する種々の概念や境界に関する性質の解明を目指す.
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| 研究実績の概要 |
粗幾何学における次元概念について、以下の成果を得た。
Bartels, Luck, Reich (2008)による双曲群に対する Farrell-Jones 予想の研究をきっかけに、equivariant asymptotic dimension (eqasdim) と呼ばれる群作用に対する次元概念が知られている。一方、Guentner, Willett, Yu (2017)は、群作用に対して dynamic asymptotic dimension (dad)を定義し、C*環の nuclear dimension へ応用した。これら2つの次元の関係については、コンパクト空間上の群作用に対し、その dad の値が eqasdim の値以下であることが知られている。しかし、それ以上はよく分かっておらず、特に、dad と eqasdim が本質的に異なるかどうかについても分かっていない。知念直紹氏(防衛大)と共同研究を行い、eqasdim に関する定理の精密化と定義の一般化を行った。これまで eqasdim はコンパクト空間上の作用に対してのみ定義・議論されていた。そのため、非コンパクトな空間上の群作用については、その空間の Stone-Cech コンパクト化へ群作用を拡張して、その作用の eqasdim を計算する必要があった。今回得た成果により、非コンパクトな空間上の群作用に対しても、直接的に eqasdim の計算ができるようになった。これによって、dad と eqasdim の値が異なる自由な作用の例の候補を特定した。その作用の dad の値は1で、eqasdim の値は2以下であることは分かっている。その作用の eqasdim の値が2以上であると予想しており、現在、その計算を進めている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今回の成果により、equivariant asymptotic dimension と dynamic asymptotic dimension の値が異なる自由な作用の例の候補が特定できた。この候補が正しいことが証明できれば、これら2つの次元が本質的に異なることが分かる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今回の研究で特定した候補の equivariant asymptotic dimension の計算を進める。さらに、equivariant asymptotic dimension、dynamic asymptotic dimension 及びこれらに関連する概念の次元論的性質についても調べる。
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