| 研究課題/領域番号 |
19K03471
|
|---|
| 研究種目 |
基盤研究(C)
|
| 配分区分 | 基金 |
|---|
| 応募区分 | 一般 |
|---|
| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
|
|---|
| 研究機関 | 東京都立大学 |
|---|
研究代表者 |
深谷 友宏 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (40583456)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
|
| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
|
| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2023年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2019年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
|
|---|
| キーワード | 粗凸空間 / 粗Baum-Connes予想 / Busemann空間 / 非正曲率空間 / 幾何学的群論 / 粗幾何学 / 非正曲率 / 非可換幾何学 / coarsely convex space / coarse geometry / geometric group theory |
|---|
| 研究開始時の研究の概要 |
近年，リーマン多様体の範疇を超えた，負曲率および非正曲率を持つ距離空間の幾何学が提唱され，活発に研究されている．尾國新一氏との共同研究で導入した粗凸空間は，距離関数の凸性という意味での非正曲率を持ち，擬等長同型と空間の直積の二つの操作で閉じているという性質を持つ距離空間のクラスである．このクラスはグロモフ双曲空間とCAT(0)空間を含む．この距離空間の幾何学的な性質と，その境界の位相的な性質を解明することがこの研究の目的である．
|
| 研究実績の概要 |
尾國新一氏（愛媛大学）との共同研究で，単連結完備非正曲率リーマン多様体の粗幾何学における類似物として，粗凸空間を導入した．粗凸空間の境界を構成し，それを用いて粗幾何学版のCartan-Hadamardの定理を証明した．その系として，粗凸空間に対する粗Baum-Connes予想が成立することを示した．
最近のOsajda等による研究により，粗凸空間に幾何学的に作用するための組み合わせ論的な条件が得られた．これにより粗凸空間に作用する群の例が豊富に得られている．特にHaettel-Hoda-Petytの結果により，写像類群も粗凸空間に幾何学的に作用することが分かった．
これにより，当初の想定を遥かに超える様々な群が粗凸空間に作用することが従う．これは粗凸空間という概念の有用性を表していると言える．そこで，粗凸空間の構造定理を目標とする研究を始めた．2021--2022年度は特別な場合としてBusemann空間の構造について研究し，位相的分解定理を得た．これは、Busemann空間内の並行な測地線の族のなす部分空間が、ある別のBusemann空間と直線の直積に同相であることを主張する定理である．
またこれとは別に大学院生と共同で，距離空間の自由積を構成した．これは以前から知られている構成を含む，より一般的なものである．そして二つの測地的粗凸空間の自由積が粗凸空間になることを示した．これにより，粗Baum-Connes予想が成立する新しい空間の例が得られた．
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
距離空間の自由積を用いて，粗Baum-Connes予想が成立する空間の例を組織的に生み出す新しい構成方法が得られている．
|
| 今後の研究の推進方策 |
粗凸空間が粗Baum-Connes予想を満たすことは既に証明されている．しかしその他の距離空間の幾何学及び幾何学的群論の観点からの研究は，やるべきことが多く残されている．そのために共同研究者や指導している大学院生とも協力しながら，複数の課題を同時に推進していく．
|
