| 研究課題/領域番号 |
19K03485
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
加藤 久男 筑波大学, 数理物質系(名誉教授), 名誉教授 (70152733)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2021年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2020年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2019年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | 位相力学系 / 幾何学的トポロジー / カオス / Takensの埋込み定理 / 位相エントロピー / フラクタル / 位相次元 / 連続体 / 記号力学系 / エントロピー |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では、コンパクト距離空間とその上の連続写像という非常に一般的な研究対象を、幾何学的トポロジー（特に、連続体論）、位相空間論、力学系理論およびエルゴート論を駆使して総合的に研究する。位相力学系、連続体論および位相空間論の方法論を融合して、可分距離空間上の力学系の原理的な構造の解明に役立てたい。特に位相空間論からの研究という基本原理に立ち返った研究方法は、本研究の大きな特色でもある。また本研究では幾何学的トポロジーの見地からも、特に連続体論から力学系のカオスを研究していく。こうした力学的構造と幾何構造を理論的かつ統一的に解明できることは本研究の大きなメリットと考えている。
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| 研究実績の概要 |
本研究は、位相力学系・幾何学的トポロジーの主な研究対象であるコンパクト距離空間・可分距離空間とその上の連続写像の位相力学的・幾何学的性質を研究対象とする。位相空間論・幾何学的トポロジーと位相力学系理論およびエルゴート理論を駆使して総合的に研究していく。特に、複雑な不変集合の幾何構造と力学的構造の解明を研究のメインテーマとするが、そうした複雑なコンパクト距離空間の幾何構造・力学的構造はたいへん興味深い研究対象である。本研究の研究実績として以下の結果を得ている：正のエントロピーをもつ同相写像を許容するグラフ・ライクな連続体は、分解不可能な連続体を含む。さらに正のエントロピーをもつ同相写像を許容するグラフ・ライクな連続体について、カオス構造定理（幾何学的構造と力学的構造を同時に表示する定理)を得た。この定理は幾何的な構造と力学的な構造の複雑さが見事に調和した定理である。さらに、力学系をカントール集合上の力学系で表示する、いわゆるゼロ次元表示についても研究成果を得ている。また、データサイエンスに関して、データ解析、時系列解析から両側力学系を再構成できるという有名な多様体上のTakensの埋込み定理が知られているが、我々は2021－2023年の研究で、Takensの定理をより一般的な空間と連続写像にまで拡張できることを発見した。Takensの定理は実験から数学モデルの再構成可能を保証する実験科学における貴重な定理であるが、多様体上の滑らかな両側力学系（可逆的な）に限られる。我々の定理は、より複雑な空間の力学系にも応用でき、かつ非可逆的な連続写像による力学系にも通用する拡張定理である。この定理は、なんの制限もない片側力学系を解明するには、時系列解析の遅延座標によるある種の埋込みが鍵になることを理論的・数学的に証明した定理である。さらにこの定理を拡張した多変量時系列に関する埋め込み定理を得ている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
現在、データサイエンスが脚光を浴びている。この分野で特に重要な定理として、現象のデータ解析、時系列解析から本来の現象（力学系）を再構成できるというTakensの埋込み定理が知られている。このTakens定理は、実際の実験データ（１次元データ）から殆どすべて、現象の数学モデルを再構成できることを保証するもので、現在のデータサイエンス・実験科学にとって最重要な定理となっている。1981年Takensがこの定理を証明して以来、多くの分野、例えば、物理、化学、情報理論、生命科学、工学など多くの実験科学でこの定理が使用されてきた。しかし、そこで扱われる現象は滑らかな多様体上の力学系に限られていた。我々は、2021-2023年の研究で、この定理を殆ど全ての力学系（片側）にまで拡張できることを証明した。我々の定理は、多様体だけでなく一般的な空間上の力学系にも応用できる力学的埋蔵定理であり、多変量時系列解析による自然現象・社会現象の解明にとって極めて重要な定理と考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
前年までの基本方針に従い研究を進める予定であるが、研究の進み具合に応じて研究テーマの内容の検討を行い、その時点で必要に応じた連携研究者・分担者の追加など研究計画を弾力的に見直していく予定である。また、2023年度もコロナ感染症の状況次第であるが、研究代表者は国内外の研究集会・国際会議に積極的に参加し、研究発表や研究成果のレビューもできるだけ積極的に行っていく予定である。本研究を進める上で国内外の研究者との研究協力は欠かすことができないものと考えている。特に各研究テーマについて内外のトポロジーおよび力学系研究者との共同研究・討論を更に精力に進めていきたい。
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