| 研究課題/領域番号 |
19K03499
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
石川 昌治 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (10361784)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2020年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2019年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | 特異点 / 多様体 / ３次元多様体 / ４次元多様体 / 無限遠の特異点 / 多面体 / ２次元結び目 / 接触構造 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では，Turaevのshadowや３次元多様体のflow-spineに着目し，多様体上のファイバー束構造とその境界に現れるオープンブック分解および接触構造の研究についての新しい枠組みを，多面体を軸に構築する．Shadowやspineは，多面体の組み合わせ的構造を利用して，３次元空間や４次元空間の表示を与える手法である．各面に向きの構造を入れることで，安定写像のStein分解や３次元多様体のflow-spineといった，より豊富な構造との対応を与えることができる．さらに詳細な情報を与えることで，レフシェッツ束や接触構造などのより深い幾何構造との対応を与えることが研究の目的である．
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| 研究成果の概要 |
フロースパイン、シャドウなどの２次元多面体を利用して、３次元多様体、４次元多様体、および平面曲線の研究を行った。フロースパインは３次元多様体上の接触構造と、シャドウは代数曲線や直線配置と関連する研究対象である。平面曲線特異点を摂動して得られる平面上の実曲線を２重化してシャドウ表示を構成することで、補空間の基本群の表示が得られることを示した。これは結び目補空間の基本群のWirtinger表示の一般化となっている。フロースパインと接触構造の研究においては、特にabaloneに着目し、ザイフェルト束との横断性について研究を行った。また、無限遠の特異点や４次元球面への円作用の研究を進めた。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
多様体および多様体間の写像は数学のみならず自然科学全般において重要な道具であり、そこに現れる特異点も重要な研究対象である。これらの情報を表すためにグラフや実平面曲線が用いられることが多いが、より複雑な研究を行う場合には、２次元多面体を用いる必要がある。それがスパインであり、シャドウである。本研究では、接触構造や代数曲線といった幾何構造を多面体を用いて表示し、そこから得られる情報により多様体や多様体間の写像の情報を得るという枠組みを構築している。これらの結果は、３次元多様体と４次元多様体、さらに高次元の多様体を結び付ける研究の基礎として、今後、重要な役割を果たすものである。
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