| 研究課題/領域番号 |
19K03502
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 日本大学 |
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研究代表者 |
茂手木 公彦 日本大学, 文理学部, 教授 (40219978)
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| 研究分担者 |
新國 亮 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (00401878)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2019年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | Dehn surgery / Dehn filling / L-space knot / twisting / tight fibered knot / generalized torsion / slope conjecture / strong slope conjecture / Dehn手術 / Dehnフィリング / 基本群 / 共役ねじれ元 / Property P / 結び目解消数 / ねじり操作 / スロープ予想 / ストロングスロープ予想 / 本質的曲面 / 結び目交点数 / 結び目群 / 両側不変順序 / 結び目のツイスト族 / L-空間結び目 / タイトファイバード結び目 / ３次元多様体 / L-空間 / 群の不変順序 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
Dehn手術は結び目の世界と３次元多様体の世界をつなぐ架け橋であり、３次元トポロジーの主要な研究テーマである。本研究では、Dehn手術の幾何的側面としてDehn手術によって興味深い３次元多様体のクラスであるL-空間が生じる状況、また、そのようなDehn手術（L-空間手術）を許容する結び目（L-空間結び目）が発生する仕組みの解明に取り組む。また、代数的側面としてDehn手術で得られる３次元多様体の基本群における共役ねじれ元の存在の証明を目指すとともに、Dehn手術という操作の群論的な記述にも取り組む。
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| 研究成果の概要 |
サテライトL-空間結び目のパターンがブレイド状であることを示し、Baker-Moore、Homの問題を解決した。その応用としてサテライトL-空間結び目が本質的コンウェイ球面をもたないことを示し、Lidman-Mooreの予想を部分的に解決した。また、ねじれ元を含まない群の自由積における共役ねじれ元の所在を解明し、群論における未解決問題を解決した。応用として３次元多様体の素分解、トーラス分解のもとでの共役ねじれ元の振る舞いを明らかにした。また、Dehnフィリングで共役ねじれ元が生じる仕組みを明らかにした。さらに、ある種のサテライト結び目に対してストロングスロープ予想を解決した。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
低次元トポロジーで近年注目されているL-空間結び目とねじり操作の関係を明らかにするとともに、接触幾何学の視点からブレイド軸を特徴づけることに成功した。その応用として、L-空間結び目に関するいくつかの未解決問題、予想を肯定的に解決することで当該分野の発展に貢献した。また、群論で重要なねじれ元の一般化である共役ねじれ元に関する未解決問題を解決することで、3次元多様体の素分解やトーラス分解のもとでの共役ねじれ元の振る舞いを明かにし、共役ねじれ元に焦点を当てた３次元トポロジーの研究の基礎を構築することができた。さらに、ストロングスロープ予想の部分的解決により量子トポロジーの発展に寄与した。
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