| 研究課題/領域番号 |
19K03516
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 九州大学 (2020-2023)
京都大学 (2019) |
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研究代表者 |
佐藤 康彦 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (70581502)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2019年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 分類理論 / 作用素環論 / 核型次元 / Jiang-Su 環 / 作用素環 / 条件付き期待値 / 分類戦略 / 分類定理 / KMS-状態 / 非単純 / Jiang-Su環 / KMS状態 / 力学系 / Toms-Winter 予想 / KMS 状態 / 分解階数 / 2-positive / 接合積 / トレース空間 / 分類可能性 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
この研究では作用素環とよばれる無限次元の数学的対象から, ある種の有限な量を取り出す事が目的である. 作用素環は元々 J. von Neumann による量子力学の数学的な定式化に端を発し, 現在では非可換幾何学や自由確率論といった分野の母体となり, 様々な応用が得られてきた.
本研究は作用素環の核型次元と呼ばれる数に焦点を絞り, 作用素環の分類定理を検証する国内初の研究課題である. 既に国内で盛んに研究されているvon Neumann 環論や群作用の技術を, 核型次元という新たな研究対象に活かすという点で, 今までに無い化学反応が起こり, 大きな結果へつながると期待する.
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| 研究成果の概要 |
作用素環の分類可能性を特徴付ける核型次元を研究し, 核型次元が有限な作用素環の力学系や条件付き期待値の研究を行った. 特にトレースをただ一つ持つ核型次元有限な作用素環の上に実現可能なKMS状態の束を構成し, Powers-Sakai予想の反例を非可算無限個構成する事に成功した. また, 条件付き期待値が存在しない自己準同型の構成を核型次元有限な作用素環の上に構成し, E. Kirchberg の未解決問題を解決した. また, これまでの分類理論では技術的に単純性を仮定するのが基本的であったが, 技術的な障害を克服する目的でRAF環と名付けた非単純作用素環の分類理論を行った.
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
作用素環論における長年の分類理論の発展により, 近年とても抽象度の高い分類理論が定理として完成した. 本研究はそのパワフルな分類理論を未解決問題へ応用し, 得られた解答の一般化や解決を行ったものである. また技術的な側面として数理物理でよく研究されているKMS状態の基本構造を調べる事で, 今まで議論されてこなかった非単純な作用素環の分類が必要である事がわかった. この成果は, これまで脚光を浴びなかった非単純な分類理論の重要性を示し, 新たな領域を開拓する契機となり得る. さらに分類理論の応用という形で, 分類理論に多大な功績を残したE. Kirchberg氏の残した未解決問題を解決した.
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