| 研究課題/領域番号 |
19K03558
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
平山 至大 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (50452735)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2019年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | 多重再帰定理 / Khintchine型多重再帰定理 / Furstenberg独立性 / 極小自己結合 / Mobius直交性 / 多重再帰性 / 重み付きエルゴード定理 / 多重同時再帰性 / エルゴード理論的結合 / 同時再帰時間 / 対角測度 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
エルゴード理論あるいは力学系理論において，もっとも基本的かつ重要な性質の一つに再帰性がある．例えば確率測度を保つ変換（保測変換）に対するPoincare再帰定理により，測度正の集合に属するほとんどすべての点は，保測変換の反復合成作用の下，その集合に無限回戻ることが知られている．この性質は，単一保測変換の場合から保測変換族に対する多重同時再帰性へと拡張して確立されている．本研究では，保測変換族に対する多重同時再帰性の定量的側面について，一般論の探求および具体例に対する評価を行う．
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| 研究成果の概要 |
エルゴード理論において，もっとも基本的かつ重要な性質の一つに再帰性がある．この性質は，単一保測変換の場合から保測変換族に対する多重同時再帰性へと拡張して確立されている．この多重同時再帰性の定量的側面について，一般論の探究と具体的な変換族についての評価，という相補的研究を行った．一般論に関しては，Furstenbergの意味で独立な保測変換族に対する多重エルゴード平均の二乗平均収束やKhintchine型の定量的多重再帰定理などを確立した．また，ある具体的な変換が自己結合の極小性をもつことなどを明らかにした．
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
再帰性はエルゴード理論における基本的かつ重要な性質の一つであり，様々な観点から多くの研究がなされている．しかしながら，保測変換族に対する多重同時再帰性の定量的側面については，まだ明らかにされていないことが多い．この点について，本研究ではFurstenbergの意味で独立な保測変換族が呈する同時再帰時間のなす集合が，自然数全体において相対稠密であることを明らかにした（Khintchine型の多重再帰定理）．変換族が可換な場合には先行する結果があったが，本研究成果は可換とは限らない変換族にも応用をもつ点で学術的意義があると思われる．
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