| 研究課題/領域番号 |
19K03574
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 沖縄科学技術大学院大学 (2022)
福岡大学 (2019-2021) |
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研究代表者 |
柳 青 沖縄科学技術大学院大学, 幾何学的偏微分方程式ユニット, 准教授 (70753771)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2020年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2019年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | 準凸関数 / 粘性解 / ハイゼンベルグ群 / 曲率流 / 凸包 / ハミルトン・ヤコビ方程式 / 無限大ラプラシアン / 距離空間上の固有値問題 / 主固有値 / アイコナール方程式 / 測地距離空間 / 時間分数階偏微分方程式 / サブリーマン / 凸性 / 動的境界値問題 / サブリーマン多様体 / 粘性解理論 / 非線形偏微分方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
サブリーマン多様体上の微分方程式論は生物学や機械工学などの分野へ応用できることが広く認識されている．現代科学の最先端の研究へ直接的に貢献するために数学的な基礎理論を発展させることが本研究のモチベーションである．具体的には，最適輸送，視覚機能と幾何学的制御の研究に応用される非線形偏微分方程式の解の正則性と凸保存性等の性質を考察し，これまでユークリッド空間で構築された粘性解理論をサブリーマン多様体へ拡張することを目標とする．
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| 研究実績の概要 |
主にサブリーマン多様体における準凸関数の性質と非線形偏微分方程式への応用について研究した．既に本研究でハイゼンベルグ群上の準凸関数と一階非局所的ハミルトン・ヤコビ方程式の関係が明らかになり，それに関する論文が国際ジャーナルRev. Mat. Iberoam. に掲載された．2022年度ではそれに続き，曲率タイプの二階楕円型作用素による準凸関数の特徴づけを考察し，方程式の粘性劣解の形で準凸関数になるための必要条件と十分条件を導いた．従来の結果よりも，より一般的な函数クラスでハイゼンベルグ群上の準凸関数と二階非線形楕円型方程式との関係を明らかにし，理解を深めることができた．さらに，この結果を用い，未解決問題であるハイゼンベルグ群上の曲率流の凸保存性についても研究を行った．初期値の幾何学的構造に対する一定の仮定の下で部分的な結果を得られた．これらの成果をまとめた論文が現在投稿準備中である．
関連の課題として，ユークリッド空間における非局所完全非線形放物型方程式の粘性解の準凸保存性も研究し，先行研究の結果を改良できた．冪凸函数による近似を新しい解析の手法として採用し，従来の研究で扱う方程式よりも一般的な非局所方程式について，解の準凸保存定理を確立することができた．この研究結果をまとめた論文が国際ジャーナルNonlinear Differential Equations Appl. に掲載された．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
サブリーマン多様体における集合と関数の凸性について，前年度の結果をさらに進展させ，偏微分方程式論の観点から理解を深めることができた．また，ハイゼンベルグ群上の曲率流方程式の凸保存性問題への応用も実現し，研究の新たな方向性を開拓することができた．本研究は予定通り進展し，順調に進んでいる．
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| 今後の研究の推進方策 |
ハイゼンベルグ群上の曲率流の凸保存性について部分的な結果を得ることができたが，一般のサブリーマン多様体における曲率運動方程式については，多くの課題が残されている．特に，重要な未解決問題として，レベルセット方程式の粘性解の一意性を新たな手法で考察する必要がある．今回の研究で得られた準凸関数の性質を活かし，その函数クラスで解の一意性問題に挑戦する．また，一般の放物型方程式においては，解の凸保存性が一般的には成り立たないと予想されているが．具体的な反例が見つかっていないため，今後はその具体例の構築に取り組んでいく予定である．
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