| 研究課題/領域番号 |
19K03574
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 沖縄科学技術大学院大学 (2022-2023)
福岡大学 (2019-2021) |
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研究代表者 |
柳 青 沖縄科学技術大学院大学, 幾何学的偏微分方程式ユニット, 准教授 (70753771)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2020年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2019年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | 準凸関数 / 粘性解 / ハイゼンベルク群 / カルノー群 / 半凹関数 / 関数不等式 / ハイゼンベルグ群 / 曲率流 / 凸包 / ハミルトン・ヤコビ方程式 / 無限大ラプラシアン / 距離空間上の固有値問題 / 主固有値 / アイコナール方程式 / 測地距離空間 / 時間分数階偏微分方程式 / サブリーマン / 凸性 / 動的境界値問題 / サブリーマン多様体 / 粘性解理論 / 非線形偏微分方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
サブリーマン多様体上の微分方程式論は生物学や機械工学などの分野へ応用できることが広く認識されている．現代科学の最先端の研究へ直接的に貢献するために数学的な基礎理論を発展させることが本研究のモチベーションである．具体的には，最適輸送，視覚機能と幾何学的制御の研究に応用される非線形偏微分方程式の解の正則性と凸保存性等の性質を考察し，これまでユークリッド空間で構築された粘性解理論をサブリーマン多様体へ拡張することを目標とする．
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| 研究実績の概要 |
サブリーマン多様体において，非線形偏微分方程式の粘性解理論に基づいた準凸関数の特徴づけについて考察した．前年度の研究で提案した曲率タイプの二階楕円型作用素によるアプローチをさらに深化させ，ユークリッド空間の場合との本質的な違いを明確にした．また，ハイゼンベルグ群上の曲率流の凸保存性への応用も改善できた．これらの成果に関する論文は現在投稿中である．
サブリーマン多様体上の二乗距離関数がどのような凹凸性を持つのかは幾何解析の基本的な問題の一つであり，最適輸送や制御理論などの分野にも多くの応用がある．2023年度ではこの重要な課題についても研究を行い，ステップ２のカルノー群に対して二乗距離関数の半凹性の結果を得られた．また，ステップ３以上の場合はその半凹性が一般的には成り立たないことも示せた．これらの研究結果をまとめた論文は現在投稿準備中である．
凸解析及び粘性解理論に関連する研究課題として，放物型方程式の解の冪凹保存性と漸近挙動を用いて，Borell-Brascamp-Lieb不等式の新しい別証明を与えた．非線形拡散方程式と関数不等式との関連を明らかにし，従来の手法と異なった斬新な不等式への考察方法を構築できた．この研究成果については複数のセミナーや研究集会において研究発表を行った．
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