| 研究課題/領域番号 |
19K03599
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12030:数学基礎関連
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
新井 敏康 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40193049)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
2,730千円 (直接経費: 2,100千円、間接経費: 630千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2020年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2019年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | proof theory / 証明論 / 順序数解析 / 整列性 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
整列性というのは、再帰的定義の基本となる原理である。最も簡単なのが自然数の順序だがそれをより大きい順序へ拡張したのが整列順序である。
この整列順序の型が順序数と呼ばれる。順序数解析はこの順序数を通じて、公理系に潜む原理を摘出することをしている。今回の研究は、この順序数解析の道具である順序数そのものに焦点を当てて、それを公理系として捉えて、順序数によりこの公理系を分析する。
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| 研究成果の概要 |
順序数上の正則関数gによる整列性原理WOP(g)は「任意の整列集合Xに対してg(X)も整列」という主張であり,正則関数gの取り方によりその証明論的強さが異なることが知られていたが, それらの結果は, 既に証明論的強さが既知であったComprehension AxiomなどとWOP(g)が同等であることを通じて得られていた.
そこで 一般にWOP(g)の証明論的順序数は正則関数gの最小不動点と等しいことを示した. 証明の鍵は, 整礎性の証明から埋め込みを抽出すること, 及びその埋め込みのg(X)におけるg-項の識別不可能性を用いた拡張にある.
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
整列性原理WOP(g)は証明論において考察するのが極めて自然な原理である. その証明論的強さを正則関数gによらずに一様に与えた学術的意義は小さくない. さらにgの微分g'による整列性原理WOP(g')が「任意に大きいWOP(g)のオメガモデルの存在」と同等であるという事実も示したが, これも逆数学の文脈で意義のある結果である. それらの定理の証明に用いた事実は二つあった.一つは整礎性の証明から埋め込みを抽出すること, 二つ目にその埋め込みのg(X)におけるg-項の識別不可能性を用いた拡張にある. 前者はGentzen-Takeutiの結果から得られるが, 後者は全く新しい観点に基づいている.
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