| 研究課題/領域番号 |
19K03608
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12030:数学基礎関連
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| 研究機関 | 工学院大学 (2020-2022)
名古屋文理大学 (2019) |
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研究代表者 |
齋藤 正顕 工学院大学, 教育推進機構(公私立大学の部局等), 准教授 (90525164)
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| 研究分担者 |
長谷川 武博 滋賀大学, 教育学系, 教授 (80409614)
西郷 甲矢人 長浜バイオ大学, バイオサイエンス学部, 教授 (80615154)
杉山 真吾 日本大学, 理工学部, 助手 (70821817)
谷口 哲也 金沢工業大学, 基礎教育部, 准教授 (90625500)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2019年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
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| キーワード | 正則グラフ / ラマヌジャングラフ / グラフの増大列 / グラフ上の量子カオス / 伊原ゼータ関数 / フーリエ係数 / 隣接行列 / ラプラシアン / カタラン数 / Kesten分布 / Kesten-McKay分布 / ベーテ格子 / 正則木 / ランダムウォーク / モーメント / Catalan's triangle / チェビシェフ多項式 / 逆正弦則 / カスプ形式 / Berry予想 / 固有ベクトル / 量子エルゴード性 / グラフ |
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| 研究開始時の研究の概要 |
Ramanujan グラフの無限列や，ランダム正則グラフの無限列など，正則木に収束するグラフの増大列は，グラフ理論のみならず情報通信分野などの応用上でも効率の良いネットワークとして重要な研究対象である．最近の研究では，これらの良いグラフの増大列は「量子エルゴード定理のグラフ類似」をみたすという新たな特徴づけがなされている．本研究では，量子力学の「量子・古典対応」の観点から，グラフの増大列の量子カオス的現象を解明する．特に，量子エルゴード的なグラフの増大列について，その隣接固有ベクトルの成分の極限分布が正規分布になるという予想（グラフに関するBerry の予想）の厳密な定式化と証明を目指す．
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| 研究成果の概要 |
(1)正則グラフの non-backtracking path の個数を成分にもつ行列に関するモーメントの極限が逆正弦則のモーメントと類似するという定理を得た．(2)Lubotzky-Phillips-Sarnak ラマヌジャングラフに関する重さ2の cusp form の素数冪フーリエ係数の平均に関する結果を得た.(3)一般化Kesten 分布のモーメントと一般化カタラン数の等式を得た．(4)正則グラフのレゾルベントに現れる行列の成分の主要項を除いた誤差項の分布を決定した．その応用として,グラフの増大列が固有値に関するある条件を満たすときに，誤差項の極限分布は正規分布となることが得られた.
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
ラマヌジャングラフなどに代表される効率のよいネットワークの特徴づけとして,グラフ上の量子エルゴード定理や量子カオスに注目した研究を行った.量子カオスは,ラプラシアンの固有関数の挙動に関する現象である.ラプラシアンや固有関数のふるまいを調べる基礎として, 我々は, 正則グラフの隣接行列のレゾルベントに現れる幾何的な量に着目し,その非自明な部分の分布について決定した. また,巨大な正則グラフの隣接行列の固有値の分布などの例に現れるケステン分布の一般化について,そのモーメントに関する新しい等式などが得られた. この結果は,上記のグラフの幾何的な量にも関係する.
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