| 研究課題/領域番号 |
19K14528
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
湯淺 亘 京都大学, 理学研究科, 特定助教 (80824961)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2020年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2019年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | スケイン関係式 / スケイン代数 / クラスター代数 / 色付きジョーンズ多項式 / 量子不変量 / 曲面のモジュライ空間 / 量子クラスター代数 / 量子トポロジー / 圏化 / 低次元トポロジー / 結び目 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
結び目や 3 次元多様体の量子不変量は, 例えば単純リー代数の量子群の有限次元既約表現を用いることで統一的に構成できるがその計算は非常に難しい.
本研究では, リー代数 sl(N+1) から構成される量子不変量の計算を行う. その計算には, 量子群の表現を図式の線形和とスケイン関係式を用いて組み合わせ的に計算する線形スケイン理論を用いる. そして, これらの計算公式を量子不変量の計算, 写像類群の量子表現の計算, 量子モジュラー形式の恒等式の導出, トポロジカル量子計算などへ応用する. これらの応用は全て図式計算による量子群の表現に関する公式の導出が重要な鍵を握っている.
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| 研究成果の概要 |
sl(3)の最高ウェイトが(n,0)の既約表現で色付けされたジョーンズ多項式においてadequateな絡み目に対するtailの存在を示した。また、sp(4)についても最高ウェイト(n,0),(0,n)の既約表現で色付けされた(2,m)-トーラス絡み目のtailを得た。
石橋典氏との共同研究でsl(3),sp(4)のクラスプ付きスケイン代数がsl(3),sp(4)から構成される曲面の量子クラスター代数へ埋め込まれることを示した。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
高階の結び目の tail の明示式については、 sl(3) の場合にトーラス絡み目の tail が頂点作用素代数のある表現に関する指標と対応することが示された。そのため sp(4) において得られた tail が同様に頂点作用素代数の指標で得られる可能性がある。更に、量子クラスター代数との対応では例外型リー代数 g(2) に関しても同様の研究を進めており、これら rank 2 の場合の対応からさらに高階の対応についての研究の指標となる。また、クラスター代数はFock-Goncharovによる曲面の局所系のモジュライ空間の関数環に対応していることから、モジュライの研究への応用も見込まれる。
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