| 研究課題/領域番号 |
19K14535
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
蔦谷 充伸 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (80711994)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2020年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2019年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
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| キーワード | ホモトピー論 / ファイバーワイズホモトピー論 / A無限大空間 / crossed module / A無限大構造 / ホモトピー正規性 / ホモトピー可換性 / 高次ホモトピー構造 / An写像 / 高次ホモトピー正規性 / ファイバーワイズホモトピー / uniform Roe algebra / ファイバーワイズA無限大構造 / ユニタリ群 / 代数的位相幾何学 / 位相的複雑さ |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究の目的はファイバーワイズA無限大空間に関する基礎理論の構築と，関連する不変量の計算手法の確立である．
高次ホモトピー構造は写像の族で記述されるため，一般に障害などの不変量が記述しづらいが，通常のA無限大空間の場合には，射影空間とよばれる空間が関手的に構成され，これを用いて古典的なホモトピー論の手法で不変量が記述される．本研究では射影空間のファイバーワイズ版についての基礎理論の構築を目的とする．
さらに，射影空間のコホモロジーの計算を通して，位相的複雑さなどのファイバーワイズホモトピー論の不変量との関係の解明および計算手法を確立することも目的とする．
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| 研究成果の概要 |
この研究課題の最大の成果は高次ホモトピー正規性に関する理論をファイバーワイズA無限大構造を用いて構築したことである．今回得られた理論で古典的なファイバーワイズホモトピー論の技術を用いて，準同型が高次ホモトピー正規性を持つかどうか調べることができるようになった．実際，包含写像SU(m) -> SU(n)のp-局所的なホモトピー正規性をいくつかの場合に決定した．
共同研究でZとZ^2上一様Roe代数のユニタリ群のホモトピー型を決定することもできた．
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
高次ホモトピー正規性はこれまでにも研究されてきたが，「本質的に高次の」ホモトピー正規性の理論は得られていなかった．得られた理論では古典的なファイバーワイズホモトピー論の技術を用いて，準同型が高次ホモトピー正規性を持つかどうか調べられる点が強みである．実際，包含写像SU(m) -> SU(n)のp-局所的なホモトピー正規性をいくつかの場合に決定した．このように扱いやすさも実証できており，今後の発展が期待できる．
一様Roe代数のユニタリ群は巨大なホモトピー群を持つ（一様Roe代数のK群と一致）ため難解であるが，実際にホモトピー型を調べる手法を与えた．距離を考慮したトポロジーへの応用も期待できる．
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