| 研究課題/領域番号 |
19K14538
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | お茶の水女子大学 (2022)
東京電機大学 (2019-2021) |
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研究代表者 |
植木 潤 お茶の水女子大学, 基幹研究院, 講師 (90780081)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2020年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2019年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | イデール的類体論 / モジュラー結び目 / 結び目・絡み目・3次元多様体 / 岩澤理論・セルマー群 / Weberの類数問題 / p進トーション / non-acyclic表現・普遍変形のL関数 / 副有限剛性 / non-acyclic表現 / 普遍変形のL関数 / 岩澤不変量 / 数論的位相幾何学 / チェボタレフ絡み目 / ヒルベルト相互律 / 三角群の保型形式 / 副有限完備化 / 捻じれアレクサンダー多項式 / non-acyclc表現 / ツイスト結び目 / L不変量 / 葉層力学系のL関数 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
「数論的位相幾何学」の目的は，素数と結び目，代数体と3 次元多様体の類似性を体系化し，色々な予想や手法を次々に見出だせるような自然な地平を切り拓くことである．我々は過去に，3 次元多様体内の可算無限絡み目において，局所理論を束ねて大域理論を記述する「イデール的類体論」の類似を構成した．数論には代数側と解析側があり，過去の研究は代数側に当たる．本研究の目的は，擬Anosov流の閉軌道族の上でイデール理論と整合する解析数論を構成し，類似性の適用範囲を大きく拡げることである．
付随して位相不変量の副有限剛性の問題を逐次考察し，低次元トポロジーへの応用や，数論側へのフィードバックに資する．
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| 研究成果の概要 |
3次元多様体上のイデール理論と整合するヒルベルト相互律を定式化した．モジュラー結び目がチェボタレフ絡み目の例であることを指摘し，Ghysの定理のSL2Zから三角群への拡張を与えた．結び目のねじれアレクサンダー多項式の副有限剛性について結果を得た．結び目と楕円曲線のZp被覆においてp進トーションを用いてWeber問題の類似を考察しLangTrotter予想の類似を指摘した．絡み目のZp直積被覆の岩澤類数公式を示した．ツイスト結び目のnon-acyclicSL2表現の重複度と普遍変形のL関数の零点の位数を体系的に調べた．また絡み目の族へと枠組みを拡張することにも成功した．
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
「数論的位相幾何学」の目的は，素数と結び目，代数体と3 次元多様体の類似性を体系化し，色々な予想や手法を次々に見出だせるような自然な地平を切り拓くことである．本研究の目的は過去に定式化した3次元多様体の代数的イデール理論の解析的側面にアプローチする中で類似性の適用範囲を大きく拡げること，また付随して位相不変量の副有限剛性の問題を考察し，低次元トポロジーへの応用や，数論側へのフィードバックに資すことであった．こうした意味で，本研究は多くの成果を得ることができた．モジュラー結び目・p進トーション・絡み目群のnon-acyclyci表現といった新たな重要な研究対象を得て，研究の土壌は大きく広がった．
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