| 研究課題/領域番号 |
19K14573
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 滋賀県立大学 |
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研究代表者 |
杉山 裕介 滋賀県立大学, 地域ひと・モノ・未来情報研究センター, 准教授 (30712161)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2019年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 解の爆発 / 解の正則性 / 波動方程式 / 圧縮性オイラー方程式 / 方程式の退化 / 準線形波動方程式 / 衝撃波 / Cauchy問題 / 重み付きソボレフ空間 / 退化型準線形波動方程式 / 双曲型方程式 / Levi条件 / 一様局所ソボレフ空間 / 解の特異性 / 特異点形成 / リーマン不変量 / 双曲型保存則系 / 適切性 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
主要部が未知関数に依存する準線形波動方程式においては、未知関数が大きく振動し、方程式の主要部の係数が0へと近づき（方程式が退化し）、波動方程式として構造を崩すことがある。本研究ではまず、elastic systemと呼ばれる空間1次元双曲型保存則系を取り扱い、退化する点付近の解の正則性理論を構築し、その応用として未解決問題「古典解及び弱解の時間大域存在」の解決を目指す。その後、高次元化、高階化（システム化）などを含むような一般論構築を目指す。
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| 研究成果の概要 |
空間１次元準線形波動方程式の解の有限時間爆発に関する新しい定理を証明した。特に、質量保存を持つ圧縮性オイラー方程式や１次元elastic systemとエネルギー保存を持つ変分型非線形波動方程式を繋ぐようにパラメータ付けを行った準線形波動方程式の初期値問題において、解の有限時間爆発が起こるための十分条件を与えた。さらに、空間無限遠方で退化する準線形波動方程式の可解性を証明した。主要部以外の空間１階偏微分の係数の減衰具合も可解性に関係することを証明した。
変数係数摩擦項付き空間１次元圧縮性オイラー方程式の時間大域解の存在と解の爆発の新しい結果も証明することができた。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
本研究においては、圧縮性流体や液晶中のエントロピー波の挙動を記述する準線形波動方程式やその関連方程式の研究を行った。特に、基本的な問題である解の存在と解が有限時間で存在しなくなる現象（解の爆発）の新しい定理を証明した。解の存在については、無限遠方における退化性という、これまで研究例のなかった条件のもとで考察を行った。解の爆発の研究は、既存の研究においては、方程式の持つ対称性（より具体的には保存則）を使って証明を行うのが一般的であったが、この研究では、そういった構造のない方程式において、解の爆発が起こる条件を与えた。
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