| 研究課題/領域番号 |
19K14577
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 日本大学 |
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研究代表者 |
齋藤 洋樹 日本大学, 理工学部, 助教 (20736631)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
1,820千円 (直接経費: 1,400千円、間接経費: 420千円)
2021年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2020年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2019年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | Hausdorff容量 / 荷重 / Choquet空間 / Sobolev空間 / Besov空間 / 荷重付Hausdorff容量 / 分数冪積分作用素 / capacity / 荷重付きHausdorff容量 / 双対空間 / 極大関数 / 分数冪Sobolev空間 / 荷重理論 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
調和解析・実解析の研究において,極大関数の有界性や荷重理論, Hausdorff容量は, 偏微分方程式やポテンシャル論などへの応用を持つ重要なテーマである.本研究課題は，応募者が得てきた荷重付Hausdorff容量による種々の極大関数の有界性の結果を利用して,荷重付分数冪Sobolev容量をHausdorff容量に適合するように定式化し,基本的性質を明らかにする. それにより,新しい同値式を開発することで対応する偏微分方程式の解の表示を得ることと,付随して得られるCarlesonの埋込み定理の特徴づけの新しい変形を得ることを目的とする．
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| 研究実績の概要 |
本研究は荷重付きHausdorff容量による種々の関数空間を研究することが目的であるが，令和4年度における研究により以下の成果を得た．
Hausdorff容量を原料に弱L^p空間はShilkret積分の形で定義できる．これを弱Choquet空間と呼ぶ．AdamsやOrobitg-Verderaの極大関数の有界性に関する結果は，強Choquet空間から弱Choquet空間への有界性と理解することができる．東海大学の古谷氏による最近の研究によれば，Lebesgue空間の場合にはKolmogorovの不等式を利用することで，弱空間から弱空間へ有界となることがわかる．この結果は荷重理論にまで拡張された．この知見をもとに，応募者は中央大学の波多野氏と川澄氏との共同研究によって，古谷氏の結果をHausdorff容量による弱Choquet空間に拡張できることを証明した．さらに，この結果は分数冪極大関数に対しても成り立つことも示した．
Kolomogorov型の不等式は精密に議論することで，Choquet-Morrey空間へと議論を持ち上げることができる．上記の結果と同様な結果として，分数冪極大関数がChoquet-Morrey空間上で有界となることを示した．現在この論文を執筆中であり，近日中に発表予定である．
この研究計画をさらに推し進めると，分数冪積分作用素を含むHolder型不等式がMorrey空間で成り立つことを主張するOlsenの不等式が，Choquet-Morrey空間でも成り立つか，という問題意識が生じる．現在はこの問題を進行させている．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
当初予定していた，荷重型分数冪Sobolev空間によって誘導されるcapacityを利用したp-Laplace型方程式の研究は基礎研究(稠密な部分空間やトレース作用素，拡張作用素の問題)に多大な時間を必要とするため計画に遅れが生じている．令和3年度で荷重付Besov空間上の埋込定理を得ることができ，これに引き続き荷重型分数冪Sobolev空間について調べることが研究計画であった．従来の非荷重の場合，Sobolev空間はBesov空間の特別な場合として理解できるため荷重理論に拡張することは難しくないと考えていたが，荷重付の場合は当初予想していたよりも問題が複雑であることがわかった．そこで，弱Choquet空間上で分数冪極大関数の有界性を示すという問題に方針を変え，当初の研究計画はより時間をかけて取り組むこととした．
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| 今後の研究の推進方策 |
令和4年度の後半から研究計画を変更し，弱Choquet空間や，Choquet-Morrey空間上における極大関数の有界性について調べており，「研究実績の概要」の項で述べたようにいくつかの研究成果を得ることができた．現在この論文は執筆中であり，近日中に発表予定である．令和5年度はこの研究計画を推し進め，分数冪積分作用素を含むHolder型不等式(Olsenの不等式)をChoquet空間に拡張する問題に取り組むこととする．
当初の研究計画を遂行するためには，荷重付分数冪Sobolev空間の稠密な部分空間の決定，トレース作用素，拡張作用素の問題などの基礎研究に2年ほど要すると考えられる．これらの基礎研究は冪型荷重について海外の研究者によって得られているが，一般の荷重に対して成り立つかは非常に難しい問題であることが明らかになった．現在は令和5年度から4年間に渡る新たな研究計画を作成し遂行予定である．
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