Hausdorff容量を用いた関数空間の研究

• 研究課題/領域番号: 19K14577
• 研究種目: 若手研究
• 配分区分: 基金
• 審査区分: 小区分12020:数理解析学関連
• 研究機関: 日本大学
• 研究代表者: 齋藤 洋樹 日本大学, 理工学部, 准教授 (20736631)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2024-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2023年度)
• 配分額: 1,820千円 (直接経費: 1,400千円、間接経費: 420千円); 2021年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円); 2020年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円); 2019年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
• キーワード: Hausdorff容量 / 分数冪極大関数 / Rieszポテンシャル / 荷重理論 / Besov空間 / Morrey空間 / Choquet空間 / 荷重 / Sobolev空間 / 荷重付Hausdorff容量 / 分数冪積分作用素 / capacity / 荷重付きHausdorff容量 / 双対空間 / 極大関数 / 分数冪Sobolev空間

研究開始時の研究の概要

調和解析・実解析の研究において,極大関数の有界性や荷重理論, Hausdorff容量は, 偏微分方程式やポテンシャル論などへの応用を持つ重要なテーマである.本研究課題は，応募者が得てきた荷重付Hausdorff容量による種々の極大関数の有界性の結果を利用して,荷重付分数冪Sobolev容量をHausdorff容量に適合するように定式化し,基本的性質を明らかにする. それにより,新しい同値式を開発することで対応する偏微分方程式の解の表示を得ることと,付随して得られるCarlesonの埋込み定理の特徴づけの新しい変形を得ることを目的とする．

研究成果の概要

調和解析や偏微分方程式において，Rieszポテンシャルや関連する分数冪極大関数が重要な役割を果たす．本研究によって荷重付Hausdorff容量を用いて定義されるChoquet空間上でFefferman-Stein型不等式を示した．またChoquet空間の双対空間についてAdams証明に別証明を与えた．このとき測度を原料とするMorrey空間が重要な役割を果たすが，これまでの結果から荷重付分数冪Besov空間をChoquet空間に埋め込むための荷重の十分条件を得た．その際，Rieszポテンシャルが上記のMorrey空間上でLifting効果が重要な役割を果たすことを明らかにした．

研究成果の学術的意義や社会的意義

近年Hausdorff容量が非整数次元の幾何的特徴を制御できることから，幾何学，偏微分方程式などへの応用は盛んになっており，Hausdorff容量を用いて定義される関数空間の性質の重要性が高まってきている．本研究によってRieszポテンシャルがChoquet空間などに与える影響が明らかになったことは，微分の作用がChoquet空間の次元にどう影響を与えているか，また荷重付Besov空間をChoquet空間に埋め込むための条件を理解することができるようになったことを意味し，幾何学と偏微分方程式に対する新たな手法を提案できているという意味で，意義があるものであると考えられる．

研究成果

• [雑誌論文] CHOQUET INTEGRALS, HAUSDORFF CONTENT AND FRACTIONAL OPERATORS (2024)
  • 著者名/発表者名: HATANO NAOYA、KAWASUMI RYOTA、SAITO HIROKI、TANAKA HITOSHI
  • 雑誌名: Bulletin of the Australian Mathematical Society 巻: - 号: 2 ページ: 1-12
  • DOI: 10.1017/s000497272400011x
  • 査読あり
• [雑誌論文] A Note on Embedding Inequalities for Weighted Sobolev and Besov Spaces (2022)
  • 著者名/発表者名: Hiroki Saito
  • 雑誌名: TAIWANESE JOURNAL OF MATHEMATICS 巻: 26 号: 2 ページ: 363-379
  • DOI: 10.11650/tjm/211204
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] Block Decomposition and Weighted Hausdorff Content (2019)
  • 著者名/発表者名: Saito Hiroki、Tanaka Hitoshi、Watanabe Toshikazu
  • 雑誌名: Canadian Mathematical Bulletin 巻: 63 号: 1 ページ: 141-156
  • DOI: 10.4153/s000843951900033x
  • 査読あり
• [学会発表] A note on embedding inequalities for weighted Sobolev and Besov spaces (2022)
  • 著者名/発表者名: 齋藤洋樹
  • 学会等名: 日本数学会
• [学会発表] Choquet integrals, Hausdorff content and sparse operator (2022)
  • 著者名/発表者名: 齋藤洋樹
  • 学会等名: 日本数学会
• [学会発表] Some embedding inequalities for weighted Sobolev and Besov spaces (2022)
  • 著者名/発表者名: 齋藤洋樹
  • 学会等名: NCTS Conference on Fractional Integrals and related phenomena in Analysis
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Weighted inequality for fractional Sobolev spaces and isoperimetric inequalities (2022)
  • 著者名/発表者名: 齋藤洋樹
  • 学会等名: 実解析シンポジウム2022
• [学会発表] Some embedding inequalities for weighted Sobolev and Besov spaces (2021)
  • 著者名/発表者名: 齋藤洋樹
  • 学会等名: Real, Complex and Functional Analysis Seminar 2021
• [学会発表] Dual of the Choquet spaces with weighted Hausdorff content (2019)
  • 著者名/発表者名: 齋藤洋樹
  • 学会等名: Function Spaces and Geometric Analysis and Their Applications
  • 国際学会
• [学会発表] Hausdorff容量によるChoquet空間の双対空間について (2019)
  • 著者名/発表者名: 齋藤洋樹
  • 学会等名: Real, Complex and Functional Analysis Seminar 2019
• [学会発表] Dual of the Choquet spaces with weighted Hausdorff content (2019)
  • 著者名/発表者名: 齋藤洋樹
  • 学会等名: 実解析シンポジウム2019
• [学会発表] Hausdorff容量によるChoquet空間上において強極大関数が有界となる指数について (2019)
  • 著者名/発表者名: 齋藤洋樹
  • 学会等名: 日本数学会