| 研究課題/領域番号 |
20K03520
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 芝浦工業大学 |
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研究代表者 |
清水 健一 芝浦工業大学, システム理工学部, 准教授 (70624302)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | ホップ代数 / テンソル圏 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
テンソル圏は数学および数理物理学の様々な分野で用いられている代数的な枠組みである。低次元トポロジーや共形場理論を動機とする“有限テンソル圏”に関する先行研究は，半単純性という条件の下で行われているものが多い。研究代表者は，これまでホップ代数（これは対称性を記述する数学的概念である“群”のある種の一般化である）について研究を行ってきた。本研究では主に“非半単純”な設定の下で，これまでにホップ代数の研究において培われてきたアプローチを用いて，有限テンソル圏を取り扱う代数的手法を開発することを目的としている。
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| 研究実績の概要 |
(1) 投稿中だった単著論文 "Pivotal structures of the Drinfeld center of a finite tensor category", "Ribbon structures of the Drinfeld center of a finite tensor category" および柴田大樹氏 (岡山理科大学) との共著論文 "Nakayama functors for coalgebras and their applications to Frobenius tensor categories" が受理された。
(2) 有限アーベル圏上に線形かつ右完全なモナドが与えられているとき、そのモナド上の加群の圏はまた有限アーベル圏となる。モナドに関する多少の技術的仮定の下、このような圏の中山関手の記述を与えた。これにより、組みひも有限テンソル圏におけるホップ代数の表現圏や、ある種の関手圏の中山関手の表示が得られる。また、これらの結果を用いて、余イデアル部分代数の表現圏のユニモジュラー性の判定条件についても考察した。以上の結果はプレプリント "Nakayama functor for monads on finite abelian categories" (arXiv:2208.08203) として公開中である。
(3) 柴田大樹氏と共同で、中山関手の理論を用いてフロベニウス・テンソル圏について研究した。特に、フロベニウス・テンソル圏が完全列に関して閉じていることや、アフィン代数群の表現圏を含むようなテンソル圏の反同変化 (de-equivariantization) のフロベニウス性の判定条件などが得られた。これらの結果は "Exact sequences of Frobenius tensor categories" (arXiv:2303.14687) として公開中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
余代数や局所有限アーベル圏の中山関手の基礎理論を築くことができたが、これにより、想像以上の多くの結果が得られた。また、これらの内容を研究集会などで発表することもできた。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究実績の概要で示したように、余代数や局所有限アーベル圏の中山関手の基礎理論は、テンソル圏やテンソル圏の作用する圏の研究に極めて有効であることが明らかになってきている。研究のひとつの方向性としては、中山関手や、その相対セール関手との関係について詳しく調べることが挙げられる。また、そのような理論の応用についても多くのアイデアが考えられるため、これらを実現していきたい。
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