| 研究課題/領域番号 |
20K03530
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
桂 利行 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特任教授 (40108444)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
2020年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | K3曲面 / エンリケス曲面 / コーブル曲面 / アーベル曲面 / ヤコビ多様体 / カラビ・ヤウ多様体 / リシュロー同種写像 / 正標数 / Coble曲面 / Kummer曲面 / 自己同型群 / Richelot isogeny / quadratic line complex / 代数曲線 / Jacobi多様体 / Grassmann多様体 / 準楕円曲面 / Enriques曲面 / 有理曲面 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
代数曲面の研究は20世紀初頭のイタリア学派の研究を嚆矢として、複素数体上の場合は小平邦彦による詳細で厳密な理論により一定の決着を見た。正標数の代数曲面は、その後、BombieriとMumfordによって研究がなされ、その分類理論は1977年に完成した。本研究の目的はその流れを汲み、正標数において、カラビ・ヤウ多様体を中心とする代数多様体の代数幾何学的・数論的な構造を解明することである。アーベル多様体、K3曲面、エンリケス曲面などのモジュライ空間、代数的サイクル、自己同型群の構造などの解明を目指して研究を行う。当面は標数2の有限自己同型群を有するエンリケス曲面のモジュライ数の決定が目標となる。
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| 研究成果の概要 |
代数幾何学は19世紀前半のリーマンによるリーマン面の研究に始まり、1900年前後にはイタリア学派による代数曲面の分類の研究があり、小平邦彦博士は1960年代に複素数体上の分類理論を厳密に完成させた。さらに、ボンビエリ・マンフォードは1977年に小平博士の結果を正標数の代数的閉体上の理論に一般化した。本研究では、その流れの上に立ち、標数2において有限自己同型群をもつコーブル曲面をある曲線のなすグラフを用いて分類し、各類の自己同型群の構造やモジュライ数、境界曲線の数などを決定した。また、代数曲線のヤコビ多様体のリシュロー同種写像の構造を解明した。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
代数幾何学の発展の流れに沿った研究であり、エンリケス曲面という代数曲面の分類理論上重要な位置を占める曲面の退化として現れるコーブル曲面に対して、標数2の代数的閉体上、自己同型群が有限の場合にはどのようなものが存在しうるかということに対する解答を与えるとともに、有限自己同型群の構造、各類のモジュライ数や境界の成分の数を決定した。また、種数2、3の代数曲線のヤコビ多様体のリシュロー同種写像の構造に関する結果を得たが、これは情報理論で現在活発に研究されている耐量子計算機暗号の理論と関係している。
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