研究課題/領域番号 |
20K03535
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研究種目 |
基盤研究(C)
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配分区分 | 基金 |
応募区分 | 一般 |
審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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研究機関 | 岡山大学 |
研究代表者 |
早坂 太 岡山大学, 環境生命科学学域, 准教授 (20409460)
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研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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キーワード | 整閉加群 / 整閉イデアル / 正則局所環 / 直既約加群 / 行列式イデアル / 整閉包 / 局所環 / ブックスバウム・リム重複度 |
研究開始時の研究の概要 |
局所環の整閉イデアルの振る舞いは、環の特異性を計る尺度となる。Zariskiが創始したこの視点の研究は、これまで多くの研究者によって精密な理論が展開されてきた。近年、これを高階数化する研究が新展開され、局所環の構造が、その上の整閉加群の振る舞いにまで反映すると考えられている。本研究は、局所環上の整閉加群の理論を独自展開し、整閉包の理論を発展させることで、局所環の構造論への応用を目指すものである。
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研究実績の概要 |
昨年度に引き続き、2次元正則局所環上の整閉加群の研究を行った。今年度は主に、直既約整閉加群に付随する行列式イデアルに関する研究に集中した。具体的には、昨年度Kodiyalam氏と行った共同研究で得られた結果の整理・点検に取り組んだ。はじめに、階数2の直既約整閉加群に付随する行列式イデアルの特徴付けに関する結果の整理・点検を行った。この結果は、研究集会やセミナーで発表するとともに、論文としてまとめ専門誌に投稿した。結果を論文にまとめる過程において、別証明のアイディアも得られた。投稿した論文は、審査を受けて、まもなく出版予定である。次に、階数3の場合の結果の整理・点検に取り組んだ。階数3の直既約整閉加群の行列式イデアルとして現れる整閉イデアルは、あるcolengthの等式をみたすイデアル二つの積で表せないイデアルとして特徴付けられる。この条件は、joint節減を用いたイデアルの等式に言い換えることができる。これを有効に用いることで、一般階数の場合の部分的結果を得た。これらの結果は論文としてまとめ、専門誌に投稿・審査を受けた後、公表する予定である。残る問題は、階数4以上の直既約整閉加群に付随する行列式イデアルの完全な特徴付けである。最初に問題となるイデアルは、位数2の単純整閉イデアル二つの積の形をした位数4の整閉イデアルである。この形の単項式イデアルについて考察を行い、部分的な結果を得た。この例を詳しく解析することで、一般階数の場合の完全解決を目指す。
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
整閉イデアルに付随する直既約整閉加群の構成法を当初の計画よりも一般的な形で得ることができた。これにより、直既約整閉加群の行列式イデアルとして現れる整閉イデアルの特徴付けに向けた研究課題が新たに提起され、階数が小さい場合の結果が得られてきている。
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今後の研究の推進方策 |
これまでに得られている階数一般の場合の部分的結果を詳しく解析することで、階数4の直既約整閉加群の行列式イデアルとして現れる整閉イデアルの特徴付けを与えたい。このため、まずは位数2の単純整閉単項式イデアル二つの積で表される位数4の整閉単項式イデアルに付随する階数4の整閉加群の具体的計算に注力する。
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