非Cohen-Macaulay環における環論的不変量の相互関係の探求

• 研究課題/領域番号: 20K03550
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分11010:代数学関連
• 研究機関: 北見工業大学
• 研究代表者: 松田 一徳 北見工業大学, 工学部, 准教授 (20633241)
• 研究期間 (年度): 2020-04-01 – 2024-03-31
• 研究課題ステータス: 交付 (2022年度)
• 配分額: 2,340千円 (直接経費: 1,800千円、間接経費: 540千円); 2023年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円); 2022年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円); 2021年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円); 2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
• キーワード: 誘導マッチング数 / 最小マッチング数 / マッチング数 / エッジイデアル / Castelnuovo-Mumford正則度 / 次元 / Coq / 形式化 / Cameron-Walkerグラフ / Stanley-Reisner環 / h多項式の次数 / Cohen-Macaulay type / 深度 / 非 Cohen-Macaulay 環 / Castelnuovo-Mumford 正則度 / h 多項式 / extremal ベッチ数

研究開始時の研究の概要

次元および深度は, 可換環論における重要な不変量である. 一般に次元は深度以上であり, 両者が等しい環として Cohen-Macaulay 環が定義される. 本研究では, 次元, 深度に加えて Castelnuovo-Mumford 正則度, h 多項式の次数, extremal ベッチ数の個数, の5種の不変量を研究対象とする. Cohen-Macaulay 環におけるこれらの不変量の相互関係は良く知られているが, 非 Cohen-Macaulay 環においては, 同様の研究はあまりされていない. そこで, 非 Cohen-Macaulay 環における上記5種の不変量の相互関係を研究する.

研究実績の概要

令和４年度における研究実績は以下の通りである。
(1) 前年度、研究代表者は自身の指導学生の吉田裕一氏(北見工業大学)との共同研究において、グラフのマッチングに付随する３種の不変量(誘導マッチング数・最小マッチング数・マッチング数)とグラフの頂点数の間の相互関係を解明した。この結果を日本数学会2023年度年会にて発表した。今年度はこの研究から派生した「３種のマッチング数が特定の値を持つグラフの頂点数及び辺数の最小値を求めよ」という問題に取り組んだ。吉田氏との共同研究により、頂点数の最小値については解決でき、辺数の最小値についても部分的結果を得ることができた。また、完全解決の為に何が必要かを見出すことができた。
(2) 前年度から継続している、グラフのマッチングに関する一連の研究成果のCoqによる形式化を進めた。才川隆文氏(名古屋大学)と研究代表者の指導学生の辻陽介氏(北見工業大学)との共同研究である。マッチングに関する概念の定義及び誘導マッチング数・最小マッチング数・マッチング数の間に成り立つ基本的な不等式の証明については形式化がほぼ完了した。
(3) 誘導マッチング数と最小マッチング数が一致するグラフの分類が、日比孝之氏(大阪大学)達によって得られている。日比氏達の分類をもとに、誘導マッチング数=最小マッチング数が成り立つ連結単純グラフについて調べた。木グラフはこの等式を満たしていると予想されるが、証明には至らなかった。

現在までの達成度 (区分)

4: 遅れている

理由

今年度は授業等の学内業務が多く、それに自身の健康問題等が重なった。そのような中で如何に研究時間を確保するかを模索しているうちに年度が終了してしまった。大いに反省すべき点である。また、出席を予定していた研究集会に全日程参加することが出来ず、１～２日間の参加に留まったため、頂いた予算の消化も遅れている。

今後の研究の推進方策

【研究概要の実績】で述べた研究課題
(1) ３種のマッチング数が特定の値を持つグラフの頂点数及び辺数の最小値を求めよ」という問題の解決
(2) グラフのマッチングに関する一連の研究成果のCoqによる形式化
に引き続き取り組むとともに、エッジイデアルの環論的不変量の相互関係についてこれまで得られた研究結果のまとめを行う。
【現在までの進捗状況】で述べた、研究時間の確保については、多くの方々から有益なアドバイスを頂戴することができた。頂いたアドバイスをもとに現状を改善していく。

研究成果

• [国際共同研究] McMaster University(カナダ)
• [国際共同研究] McMaster University(カナダ)
• [雑誌論文] The regularity and h-polynomial of Cameron-Walker graphs (2022)
  • 著者名/発表者名: Takayuki Hibi, Kyouko Kimura, Kazunori Matsuda, Adam Van Tuyl
  • 雑誌名: Enumerative Combinatorics and Applications 巻: 2 号: 3 ページ: Article #S2R17-Article #S2R17
  • DOI: 10.54550/eca2022v2s3r17
  • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
• [雑誌論文] Regularity and h-polynomials of binomial edge ideals (2022)
  • 著者名/発表者名: Takayuki Hibi, Kazunori Matsuda
  • 雑誌名: Acta Mathematica Vietnamica 巻: 47 号: 1 ページ: 369-374
  • DOI: 10.1007/s40306-021-00416-3
  • 査読あり
• [雑誌論文] Inequalities of invariants on Stanley-Reisner rings of Cohen-Macaulay simplicial complexes (2022)
  • 著者名/発表者名: Akihiro Higashitani, Hiroju Kanno, Kazunori Matsuda
  • 雑誌名: Journal of Pure and Applied Algebra 巻: 226 号: 7 ページ: 106888-106888
  • DOI: 10.1016/j.jpaa.2021.106888
  • 査読あり
• [雑誌論文] Regularity and a-invariant of Cameron?Walker graphs (2021)
  • 著者名/発表者名: Hibi Takayuki、Kimura Kyouko、Matsuda Kazunori、Tsuchiya Akiyoshi
  • 雑誌名: Journal of Algebra 巻: 584 ページ: 215-242
  • DOI: 10.1016/j.jalgebra.2021.05.007
  • 査読あり
• [雑誌論文] Matching Numbers and Dimension of Edge Ideals (2021)
  • 著者名/発表者名: Ayana Hirano, Kazunori Matsuda
  • 雑誌名: Graphs and Combinatorics 巻: 37 号: 3 ページ: 761-774
  • DOI: 10.1007/s00373-021-02277-x
  • 査読あり
• [雑誌論文] Homological invariants of Cameron-Walker graphs (2021)
  • 著者名/発表者名: Hibi Takayuki、Kanno Hiroju、Kimura Kyouko、Matsuda Kazunori、Van Tuyl Adam
  • 雑誌名: Transactions of the American Mathematical Society 巻: ー 号: 9 ページ: 6559-6582
  • DOI: 10.1090/tran/8416
  • 査読あり / 国際共著
• [学会発表] 連結単純グラフのマッチングに付随する3種の不変量 (2023)
  • 著者名/発表者名: 吉田 裕一, 松田 一徳
  • 学会等名: 日本数学会2023年度年会
• [学会発表] Gorenstein binomial edge ideals ~arXiv:2102.11188 の論文紹介~ (2021)
  • 著者名/発表者名: 松田 一徳
  • 学会等名: 特異点セミナー
  • 招待講演
• [学会発表] Homological invariants of Cameron-Walker graphs (2021)
  • 著者名/発表者名: 松田 一徳
  • 学会等名: 東京可換環論セミナー
  • 招待講演
• [学会発表] Gorenstein graphic matroids (2020)
  • 著者名/発表者名: 松田 一徳
  • 学会等名: オンライン研究集会 組合せ論と可換環論
  • 招待講演
• [学会発表] The regularity and h-polynomial of Cameron-Walker graphs (2020)
  • 著者名/発表者名: 日比 孝之、木村 杏子、松田 一徳、Adam Van Tuyl
  • 学会等名: 日本数学会2020年度秋季総合分科会
• [学会発表] 単項式イデアルの環論的不変量の相互関係について (2020)
  • 著者名/発表者名: 松田 一徳
  • 学会等名: 日本数学会北海道支部講演会
  • 招待講演
• [備考] 北見工業大学 研究者総覧
  • URL: http://hanadasearch.office.kitami-it.ac.jp/searchja/show/id/1331