非Cohen-Macaulay環における環論的不変量の相互関係の探求

• 研究課題/領域番号: 20K03550
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分11010:代数学関連
• 研究機関: 北見工業大学
• 研究代表者: 松田 一徳 北見工業大学, 工学部, 准教授 (20633241)
• 研究期間 (年度): 2020-04-01 – 2024-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2023年度)
• 配分額: 2,340千円 (直接経費: 1,800千円、間接経費: 540千円); 2023年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円); 2022年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円); 2021年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円); 2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
• キーワード: エッジイデアル / Stanley-Reisner環 / 次元 / Castelnuovo-Mumford正則度 / 余次元 / マッチング数 / 最小マッチング数 / 誘導マッチング数 / Cohen-Macaulay / Gorenstein / 独立数 / Coq / 形式化 / Cameron-Walkerグラフ / h多項式の次数 / Cohen-Macaulay type / 深度 / 非 Cohen-Macaulay 環 / Castelnuovo-Mumford 正則度 / h 多項式 / extremal ベッチ数

研究開始時の研究の概要

次元および深度は, 可換環論における重要な不変量である. 一般に次元は深度以上であり, 両者が等しい環として Cohen-Macaulay 環が定義される. 本研究では, 次元, 深度に加えて Castelnuovo-Mumford 正則度, h 多項式の次数, extremal ベッチ数の個数, の5種の不変量を研究対象とする. Cohen-Macaulay 環におけるこれらの不変量の相互関係は良く知られているが, 非 Cohen-Macaulay 環においては, 同様の研究はあまりされていない. そこで, 非 Cohen-Macaulay 環における上記5種の不変量の相互関係を研究する.

研究成果の概要

多項式環を有限単純グラフのエッジイデアルで割った剰余環に対し、環論的不変量(次元・深度・h多項式の次数・Castelnuovo-Mumford正則度・余次元)およびグラフ理論的不変量(マッチング数・最小マッチング数・誘導マッチング数・頂点数・辺の本数)の間に成り立つ相互関係をいくつか見出すことができた。また、Cohen-Macaulay Stanley-Reisner環の次元・Castelnuovo-Mumford正則度・Cohen-Macaulay type の間に成り立つ不等式を見出すことができた。

研究成果の学術的意義や社会的意義

エッジイデアルに関する一連の研究において、グラフ理論に関するいくつかの研究成果を用いた。またその逆に、純粋なグラフ理論の問題を解決し、それを応用してエッジイデアルについての研究成果が出せたこともあった。両分野の結びつきの強さを知らしめるような結果が出せたことに意義を感じる。

研究成果

• [国際共同研究] McMaster University(カナダ)
• [国際共同研究] McMaster University(カナダ)
• [雑誌論文] On the three graph invariants related to matching of finite simple graphs (2024)
  • 著者名/発表者名: Kazunori Matsuda, Yuichi Yoshida
  • 雑誌名: Journal of Algebra Combinatorics Discrete Structures and Applications 巻: －
  • 査読あり
• [雑誌論文] The regularity and h-polynomial of Cameron-Walker graphs (2022)
  • 著者名/発表者名: Takayuki Hibi, Kyouko Kimura, Kazunori Matsuda, Adam Van Tuyl
  • 雑誌名: Enumerative Combinatorics and Applications 巻: 2 号: 3 ページ: Article #S2R17-Article #S2R17
  • DOI: 10.54550/eca2022v2s3r17
  • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
• [雑誌論文] Regularity and h-polynomials of binomial edge ideals (2022)
  • 著者名/発表者名: Takayuki Hibi, Kazunori Matsuda
  • 雑誌名: Acta Mathematica Vietnamica 巻: 47 号: 1 ページ: 369-374
  • DOI: 10.1007/s40306-021-00416-3
  • 査読あり
• [雑誌論文] Inequalities of invariants on Stanley-Reisner rings of Cohen-Macaulay simplicial complexes (2022)
  • 著者名/発表者名: Akihiro Higashitani, Hiroju Kanno, Kazunori Matsuda
  • 雑誌名: Journal of Pure and Applied Algebra 巻: 226 号: 7 ページ: 106888-106888
  • DOI: 10.1016/j.jpaa.2021.106888
  • 査読あり
• [雑誌論文] Regularity and a-invariant of Cameron?Walker graphs (2021)
  • 著者名/発表者名: Hibi Takayuki、Kimura Kyouko、Matsuda Kazunori、Tsuchiya Akiyoshi
  • 雑誌名: Journal of Algebra 巻: 584 ページ: 215-242
  • DOI: 10.1016/j.jalgebra.2021.05.007
  • 査読あり
• [雑誌論文] Matching Numbers and Dimension of Edge Ideals (2021)
  • 著者名/発表者名: Ayana Hirano, Kazunori Matsuda
  • 雑誌名: Graphs and Combinatorics 巻: 37 号: 3 ページ: 761-774
  • DOI: 10.1007/s00373-021-02277-x
  • 査読あり
• [雑誌論文] Homological invariants of Cameron-Walker graphs (2021)
  • 著者名/発表者名: Hibi Takayuki、Kanno Hiroju、Kimura Kyouko、Matsuda Kazunori、Van Tuyl Adam
  • 雑誌名: Transactions of the American Mathematical Society 巻: ー 号: 9 ページ: 6559-6582
  • DOI: 10.1090/tran/8416
  • 査読あり / 国際共著
• [学会発表] Gorenstein二次代数のKoszul性に関するMastroeni-Schenck-StillmanのQuestionについてのサーベイ (2023)
  • 著者名/発表者名: 松田 一徳
  • 学会等名: 東京可換環論セミナー
  • 招待講演
• [学会発表] 連結単純グラフのマッチングに付随する3種の不変量 (2023)
  • 著者名/発表者名: 吉田 裕一, 松田 一徳
  • 学会等名: 日本数学会2023年度年会
• [学会発表] Gorenstein binomial edge ideals ~arXiv:2102.11188 の論文紹介~ (2021)
  • 著者名/発表者名: 松田 一徳
  • 学会等名: 特異点セミナー
  • 招待講演
• [学会発表] Homological invariants of Cameron-Walker graphs (2021)
  • 著者名/発表者名: 松田 一徳
  • 学会等名: 東京可換環論セミナー
  • 招待講演
• [学会発表] Gorenstein graphic matroids (2020)
  • 著者名/発表者名: 松田 一徳
  • 学会等名: オンライン研究集会 組合せ論と可換環論
  • 招待講演
• [学会発表] The regularity and h-polynomial of Cameron-Walker graphs (2020)
  • 著者名/発表者名: 日比 孝之、木村 杏子、松田 一徳、Adam Van Tuyl
  • 学会等名: 日本数学会2020年度秋季総合分科会
• [学会発表] 単項式イデアルの環論的不変量の相互関係について (2020)
  • 著者名/発表者名: 松田 一徳
  • 学会等名: 日本数学会北海道支部講演会
  • 招待講演
• [備考] 北見工業大学 研究者総覧
  • URL: https://hanadasearch.office.kitami-it.ac.jp/searchja/show/id/1331
• [備考] 北見工業大学 研究者総覧
  • URL: http://hanadasearch.office.kitami-it.ac.jp/searchja/show/id/1331