| 研究課題/領域番号 |
20K03588
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 (2023)
広島大学 (2020-2022) |
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研究代表者 |
古宇田 悠哉 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (20525167)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2022年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2020年度: 1,820千円 (直接経費: 1,400千円、間接経費: 420千円)
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| キーワード | 3次元多様体 / 接触構造 / 多面体 / スパイン / フロー / 3 次元多様体 / シャドウ / Goeritz 群 / ３次元多様体 / ４次元多様体 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
3 次元・4 次元の任意の可微分多様体は, スパインおよびシャドウとよばれる 2 次元の多面体を用いて組合せ的に表示することが出来る. これらの多面体に分岐構造, すなわちある種の向きを備えることにより接触構造や安定写像の特異点を含む, 多様体上のより精密な構造を調べることが可能になる. 本研究では, 3 次元多様体上の接触構造とその Reeb フローの力学系, 3 次元多様体の幾何構造と安定写像の特異ファイバー, 4 次元多様体の幾何構造について, これら多面体との新たな対応を見出し, その対応に基づく統一的な組合せ手法を用いることで考察を深めることを目的とする.
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| 研究成果の概要 |
3次元・4次元の可微分多様体を記述するスパインおよびシャドウとよばれる2次元多面体を用いて，下記の研究を遂行した．まず，接触構造のReebフローと正フロースパインの対応に着目し，正フロースパインに対する接触構造の存在証明，およびこの対応により与えられる正フロースパインの集合から接触構造の集合への写像の全射性の証明を行った．また，シャドウと特異点論の関係に基づき，シャドウの補空間の基本群の明示公式やディバイド絡み目の双曲体積の評価を与えた．関連する低次元トポロジーの話題として，Heegaard分解のGoeritz群，大域的位相欠陥のホモトピー分類に関する研究を進め，成果を発表した．
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
3次元および4次元多様体論においては，可微分構造を介して定義される諸概念が，組合せ的対応物により解釈され，それにより新たな視覚的・構成的手法が開発されることで，研究が大いに進展してきた．本研究では，ここにおける「組合せ的対応物」としてスパインとシャドウという2次元多面体に着目して研究を行い，特に，「接触構造」と「正フロースパイン」の対応，「特異点」と「シャドウ」の対応の存在を明示的に記述した．前者の対応により，接触構造の Reeb フローの力学系をフロースパイン上の離散力学系として捉えることが原理的に可能になり，後者の対応によりディバイド絡み目の双曲体積の評価が可能になった．
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