| 研究課題/領域番号 |
20K03589
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
阿賀岡 芳夫 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 名誉教授 (50192894)
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| 研究分担者 |
澁谷 一博 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 准教授 (00569832)
奥田 隆幸 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 准教授 (40725131)
田丸 博士 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (50306982)
橋永 貴弘 佐賀大学, 教育学部, 准教授 (40772132)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2020年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | 局所等長埋め込み / リーマン多様体 / ガウス方程式 / 可積分条件 / 不変式 / plethysm / 曲率 / 左不変計量 / 定曲率空間 / ４点配置 / 等長埋め込み / 表現論 / プレシズム |
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| 研究開始時の研究の概要 |
リーマン多様体とは、２次元の図形である曲面を高次元化したものであり、「長さ」の概念を備えた抽象的な存在物である。それを高次元のユークリッド空間内に具体的に実現することが、リーマン多様体の等長埋め込み問題である。この問題は局所的には偏微分方程式系の解の存在・非存在を判定する問題であるが、これを解くためには偏微分方程式系に現れる可積分条件を数学的に解析する必要がある。それを実行するためには、数学の様々な分野における道具を駆使して取り組まねばならない。本研究は、特に表現論・古典的不変式論で有名な「記号的方法」を用いてこの課題に取り組むものである。
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| 研究成果の概要 |
リーマン多様体の局所等長埋め込み問題を中心に研究をすすめた。特に空間が左不変計量をもった３次元リー群の場合について、４次元定曲率空間に局所等長に埋め込み可能なものをすべて分類した。更に、３次元多様体が５次元ユークリッド空間に局所等長に埋め込めるための条件、４次元多様体が６次元ユークリッド空間に埋め込めるための条件について、表現論的立場からの研究をすすめた。これに関連する課題として、plethysmの分解公式の研究、各種の幾何構造の定める不変量の研究も行った。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
ユークリッド空間の超曲面として局所等長に埋め込めるリーマン多様体の特徴付けの問題は３次元の場合が最も難しかったわけだが、その問題が解決できたおかげで、埋め込み先の空間がユークリッド空間以外の場合にも理論を構築することができた。またローレンツ多様体で同様の問題を考える研究者も現れる等、長年に渡って手付かずの状態が続いていたこの分野への関心が高まりつつある。幾何学・偏微分方程式の問題を代数的・表現論的に考察する手法を確立した意義も大きい。
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